Kahler幾何的發展歷程及其背景意義是什麼

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Kahler manifold就是symplectic manifold上有個integrable compatible almost complex structure。假如不integrable就是普通的symplectic manifold。

舉個例子，考慮 equipped with standard symplectic form，然後quotient by identification 以及後三個坐標+1，所以這決定了一個lattice ，我們得到所謂的Kodaira Thurston manifold 。這個symplectic manifold是non-Kahler的因為first Betti number是3，而Hodge theory告訴我們任何compact Kahler manifold的odd Betti number是個偶數。由此我們知道上任意一個和symplectic form compatible的almost complex structure均不可積。不過，上面倒是存在不compatible with 的integrable almost complex structure，而這個complex structure決定的復曲面就是primary Kodaira surface。一個有趣的問題是怎麼構造一個non-compact non-Kahler complex manifold：Non-compact complex surfaces which are not K?hler。

從復幾何的角度看，對任何複流形可以定義所謂的Bott-Chern cohomology，它的cohomology class是closed form quotient by double exact form，也就是能寫成的微分形式。你可以定義Dolbeault版本的Bott-Chern cohomolohy，容易看出，對任何Kahler manifold，這就是普通的Dolbeault cohomology，所以沒有意思。只有對non-Kahler manifold這個上同調才會有趣。你可以考慮Bott-Chern的辛幾何版本，這已經被一些中國數學家研究過了，不多談。

所以你要在Kahler manifold上做幾何的話，就有許多好的性質。一個general principle是，幾何結構越多，這種幾何的研究方法就越偏向於線性代數。比如real symplectic manifold上有Fukaya structure，但是在holomorphic symplectic manifold上就沒有，因為complex Lagrangian不會bound non-constant holomorphic disk。

而關於特殊的Kahler manifold，當然不能不提Kahler-Einstein manifold，在這種manifold上你能找到好的metric從而證明Chern number inequality，繼而把Riemann surface的uniformization推廣到高維複流形。

另一類有趣的Kahler manifold是Hodge manifold，也就是Kahler form 。Kodaira嵌入定理說，一個Kahler manifold是Hodge manifold當且僅當它是algebraic manifold。這是二十世紀代數幾何上最偉大的定理之一，以至於每個微分幾何學家都應該學習這個定理。值得注意的是，假如一個compact symplectic manifold上的symplectic structure滿足，那麼Tamarkin證明了對可以定義一個microlocal category，這是一個dg category並且expect quasi-equivalent to Fukaya category。這是個驚天動地的大工作，用到了deformation quantization中一些較深入的部分，可惜數學界尚未完全理解。

對algebraic manifold 有所謂的Hodge猜想，即中的上同調類都可以表示為algebraic cycle。一些進展包括Lefschetz (1,1) theorem, 以及Chern class都能用algebraic cycle表示，後者導致了一整個學科，叫做intersection theory。另外，cubic 4-fold已被驗證滿足Hodge猜想。Griffiths在Hodge猜想上做了重要的工作，而他所用的方法，transcendental algebraic geometry，就是試圖用研究Kahler manifold的辦法，也就是Hodge理論來解決問題。為此又發展出Hodge structure和mixed Hodge structure，這些方法本質上就是線性代數，所以不僅在幾何上，在表示論上也很有效。

假如Kahler manifold的holonomy group可以被reduce到symplectic group，則得到所謂的hyperkahler manifold。因為，所有的Calabi-Yau surface都是hyperkahler manifold。這時候相應的幾何結構就變得非常豐富。然而compact hyperkahler manifold其實並不多，假如考慮4維流形，且要求full holonomy，則可以證明只有K3曲面滿足條件。在高維可以考慮Hilbert scheme of points on hyperkahler manifolds來構造新的例子。不過很多非緊的hyperkahler manifold也有很有趣的幾何，比如ALE space，起源於quotient singularity ，其中是有限群中的一個。這些singularity的crepant resolution就是所謂的ALE space，這些流形在分析和辛拓撲上已經被研究爛了，同時他們又給出了symplectic resolution的最簡單例子。當然，還可以考慮non-simple singularity，這從辛拓撲的角度看來更加有趣。有一整個學科叫做symplectic duality，就是研究表示論和hyperkahler geometry的interaction。我最近對這方面非常感興趣。原因是有些想法在real symplectic manifold上analogue，一個例子就是Seidel發展的categorical dynamics，有興趣的同學可以讀一讀這篇文章: Disjoinable Lagrangian spheres and dilations，其中的dilation condition源於Okounkov在symplectic resolution上的類似想法。

在Kahler manifold和hyperkahler manifold之間還有一類所謂的quaternion-Kahler manifold，它們的holonomy group是，所以自然包含了所有的hyperkahler manifold。假如假設scalar curvature nonzero，則得到的就是將hyperkahler manifold排除之後的non-trivial的quaternion-Kahler manifold。多年前有人在mathoverflow問過這類manifold的mirror symmetry，我給了一個partial answer: Mirror Symmetry for Quaternionic-K?hler Manifolds。

知乎上某爭議數學大師在其《微分幾何講義》書里偶爾講了一點微小的Kahler幾何內容，分布在第8章和附錄中。