人垂直於地面通過地心向上起跳，真的會落回原地嗎？

01-02

假設忽略空氣的存在，人垂直於地面通過地心向上起跳，真的會落回原處嗎？我總感覺由於地球的自轉會偏移一點點，但是力學功底不足，請問如何從邏輯上解決這個問題。證明或者否定這個問題。
假設地球的軸是固定的，然後地球繞著軸自轉。
假設由於慣性，人保持著切向速度，由於人向上跳，所以用切向速度除以半徑得到角速度，而半徑不斷增大，所以角速度不斷減小，而地球角速度不變，所以我覺得人應該落在相對地球的別處，而不是落在相對地球的原處。

即使不考慮空氣的存在，也肯定不會是落在原地（但是偏移難以察覺）。

不想看計算的可以直接看結論：

北半球落點往西南偏；南半球落點往西北偏；赤道上落點往西偏且偏得最厲害；南北極點落點不會偏。

下面是定量計算。

已知

故可計算得落地偏差數值，表格如下（負號表示偏西，單位為米），其中h是起跳後最高點距地面高度，λ為起跳點緯度（南緯北緯均可）

因此就算把你當成一個質點，並且可以跳3米高（世界紀錄似乎是2.45米），而且還是在赤道上（赤道上偏差最大），你向西的偏移量僅僅只有0.46mm。

假設你有蜘蛛俠的彈跳能力，可以跳200米高，不計空氣阻力，並且在赤道上豎直起跳，那麼你的落點會向西偏移24.84cm。然而如此可觀的偏移量在現實中一個小小的微擾就可以抵消掉。

要強調一點，豎直上拋是落點偏西，自由落體是落點偏東。在南北極點不會偏移。

然而上述計算只考慮了科里奧利力，並且還消去了一個二階小量。考慮慣性離心力之後，你會發現在北半球落點偏南，在南半球落點偏北，在嚴格意義的赤道上落點不會偏北也不會偏南。此時無論是豎直上拋還是自由落體上述結論均有效。

======以下是一本正經的推導======

以上推導只考慮了科里奧利力（即落點偏東還是偏西），下面是考慮了慣性離心力的修正（即落點偏南還是偏北）：

參考文獻：

《理論力學教程（第3版）同步輔導及習題全解》, 蘇正明主編

《理論力學教程》（第3版）, 周衍柏編

《自由落體東偏南偏的討論》, 袁廣宇,李鵬飛,吳向堯,尹新國- 《淮北煤師院學報：自然科學版》 - 1998

題主的想法其實沒錯，能夠仔細想到這一點很厲害呢，鼓勵一下

這種現象的產生其實和科里奧利力的本質十分相像，都是轉動系與慣性系中我們對勻速運動的描述不同導致。如果有興趣可以自行查找一下相關原理

只是這個偏差通常太小，很少會納入考慮

樓主有這個想法非常好。詳細嚴謹的論證請看大學物理教材，如:《理論力學教程》周衍泊編，第四章轉動參考系

結論是只有在極點會落在原地，其餘點都會發生偏移。具體偏移多少如果樓主有興趣，我找時間算算。現在正在蹲坑，手裡沒筆╮(￣⊿￣)╭

3.21更新，樓下有人放了教材，還有課本原題(?乛?乛?)，樓主如果學了高數可以看

一句話，跳起來線速度不變，半徑增大，角速度變小，不會落在原地。不需要查什麼資料，也不需要什麼複雜推倒。

高中的時候算過來著，我看看我還能不能算出來

萬有引力的方向垂直於地心，若地球不自轉，那麼可以落回原地

但因為地球在自轉，萬有引力的一部分是向心力，向心力垂直於地球自轉軸

[此處都沒有圖，全靠腦補]

北京位於北緯四十度，所以北京距離自轉軸：R=6400km*cos(40°)=4736km

向心力加速度 $frac{4pi^2R}{T^2}$ R=4736000,T=86400，帶入等於得：

ma = 0.025m/s^2

算完了=w=

所以向心力F+實際感受到的重力g=萬有引力G

實際受到的重力加速度，在平行地面的方向上，是a*sin(40°)=0.025*0.64=0.016m/s^2

綜上，當樓主跳起1.25米高的時候，垂直方向用時0.5秒，會在水平方向上唯一 $frac{1}{2}at^2$ =0.002米

兩毫米，好像還挺多的。。

不知道算錯沒有=w=

人不能連續兩次落在同一個點。

少年你很有想法，想知道為什麼請參考朗道第一卷關於非慣性系中的"力"，結論是上拋一個物體落點確實有偏移，不過比較小。

我也寫一個有可能比較準確的做法吧。不對還請指正。（以不旋轉的地心係為參考系）人在起跳之后角動量守恆（忽略空氣阻力等）設地球自傳角速度w地球半徑R起跳後某時刻角速度為w1起跳高度為r則應有角動量守恆等式wRmR=w1 （R+r） m（R+r）化簡得w1=wRR/(R+r) （R+r）如果這時認為人挑起的高度相對於地球半徑很小則小人落回原地。否則，在0到落地時間內對w1-w在時間上球積分就能算出偏移角度了。下圖為我醜陋的計算結果

這個結果是偏移量不是角度。。。

可能會，。有兩種情況，

有一種極限情況會出現落在原點，那就是地球半徑無限大，。

想像在宇宙中一列直線行駛的火車，你在火車上跳躍，忽略跳躍時阻力，你就可以落在原點，。

由於地球半徑有限，而你跳躍了以後，初速度一定，但是原點在地球上，而它的速度是一直變化的，方向在改變，原點速度在你初速度方向上的分速度越來越小，而且你的下落高度會長於你上升長度，會出現下面的情形，

上面圓弧為跳躍時軌跡，當你落到水平線端點時原點運動到下面大圓弧標點處，而你會繼續下落，原點繼續左移，可見存在一個跳躍初速度可以使你剛好落在原點，。