為什麼有些數學家不能接受良序定理？

01-02

邦拿（Jerry Bona）說過：「『選擇公理』明顯是正確的；『良序定理』明顯是不正確的；『佐恩引理』又有誰可決定呢？」書上也說Zermelo證明了選擇公理可以推出良序定理之後，引起了轟動，有人質疑證明有錯也有人因此拒絕選擇公理。為什麼他們覺得良序定理不可接受呢？另外如果答者知道能不能說一下Zermelo證明中被質疑的地方是哪裡？麻煩大家了。附上證明鏈接：http://www.math.uiuc.edu/~dan/ShortProofs/WellOrdering.pdf

感覺其他答案寫了很多，但是並沒有說到點子上。

AC是很容易直觀來想的，對於很多筐蘋果，我們每筐拿一個，這件事情是自然的，但是WO不是這樣自然。

有限集和可數集的良序是容易的，但是不可數集的良序不是。一個很簡單的問題，實數上是否存在良序。（被樓上的「連續統上的良序不違反直覺」嚇到了，這個是最違反的。。）這件事情是highly non-constructive的，至少我們能夠想到的實數上的正常的序以及與此相關的序都非良序，我們很容易被實數上的通常的序誘導，而沒辦法想像一個良序出來，因為實數上的線序實在是太深入人心了。但是實數上確實存在良序，並且任何集合都可以良序……

就我看到的涉及AC的證明來看，題主說的那一件事情非常的在理。個人總結的一件事情：Zorn"s lemma就是給那些不懂超窮歸納的人用的。因為良序集上可以像數學歸納法一樣做歸納，而任何集合都可以良序，所以任何集合上都可以用超窮歸納，無非歸納的東西變成了序數。但是很多經典的證明裡感覺刻意避開了超窮歸納，明明歸納可以很快寫完的，但是非要用Zorn"s lemma造一個偏序說明極大元存在。比如Hahn-Banach定理用AC的那個證明，還有代數閉域的存在性的證明。不知道是寫這些證明的數學家也未必很懂超窮歸納，或者認為讀者不懂超窮歸納。。

個人觀點，沒什麼出處，看著理解一下就好了。。

謝邀。其實我覺得 @王箏的回答已經很好了。不過我補充幾句：

其實在Zermelo之前（為啥提到Zermelo，請看鏈接策梅洛）很多數學家都不自覺的使用了選擇公理。為了方便起見，我們不妨從最簡單的例子開始。

比如，對於有限集合 $X$ ，我們都可以從中選取元素（只需要有限步即可）。這種方法很簡單，我就不具體敘述了。那麼如果 $X$ 是可數的集合呢？由於它和自然數一一對應，那麼根據"每個自然數的非空集合都有一個最小元"的公理，所以要指定我們的選擇函數，我們可以簡單的把每個集合映射到這個集合的最小元。這樣我們依舊能夠從每個集合明確地選擇元素，並且得到一個明確的表達式，說明我們的選擇函數如何取值。在能夠指定一個明確選擇方式的時候，選擇公理都是沒有必要的。

但是如果沒有從每個集合得到元素的直觀選擇方式時，困難就出現了。最常見的例子就是實數的所有非空子集的集合。因為實數集合是不可數的，因此如果我們嘗試使用對於有限集合的方法，那麼選擇過程永遠不會結束。如果沒有選擇公理，我們就永遠不能生成對該集合成員的選擇函數。所以這種方法不能奏效。其次，我們可以嘗試對於可數集合的方法，給每個集合指定最小元素這種方式。但是某些實數的子集在通常的順序下是沒有最小元素。例如，開區間 (0,1)沒有最小元素：如果x在 (0,1)中，則x/2也在其中，而x/2總是嚴格的小於x。所以這種方法也不行。

但是直覺上而言，有集合我們就可以選擇。如果我們不能做明確的選擇，我們如何知道某個集合的存在呢？因此選擇公理就這樣在默認中使用了很多年，直到Zermolo注意並且提出了它。既然選擇公理都成立了，那麼「任意集合可良序」也就為真了。直觀的原因可以從上面對於實數的分析看到。

然而，有必要用到選擇公理的證明總是非構造性的。也就是說，即使證明給出了一個對象，精確地說出那個對象卻是不可能的。如果我們不能寫出選擇函數的定義，則我們的選擇就不是非常明確的。這是一些數學家不喜歡選擇公理的理由之一。同樣，選擇公理帶來的良序定理也是很不直觀，甚至於與直覺衝突，因此才有了一些爭論。實際上選擇公理可看做集合論公理之一，並且已經證明和通常使用的集合論公理中的其它公理不矛盾。也就是說加不加它無所謂，但是為了方便證明，多一個條件總是好的，所以為啥不加它呢。

數學家一般都會接受選擇公理的, 進而也會接受選擇公理的推論, 一般是做純邏輯或者純集合論對這個公理選擇觀望態度, 到沒有說不接受的問題, 但是在數學的其他領域一般都承認選擇公理, 應用選擇公理的數學命題的證明被視為有效的證明. (一些書中會把應用選擇公理的定理單獨的列出來)

而且良序定理也不怎麼違反直覺吧, 大家比較熟悉數學中的集合 (就是大家能夠應用到實際中的) 要麼是有限的, 要麼是可數的, 要麼是連續統的, 他們良序性並不違反直覺. 所以在那一類的集合下面人們不會懷疑選擇公理的, 而且那一類的集合幾乎是可以應用的所有集合了...所以承不承認選擇公理在更一般的集合下的正確性都是無所謂的.

邏輯層面選擇公理良序性 Zorn"s lemma 都是等價的

證明也沒什麼問題, 只要承認集合論其他的公理的話, 沒啥可質疑的, 要質疑的話就是集合論的整個體系的問題了.

這個選擇公理的存在是不和其他的集合論公理矛盾的, 也不能由其他公理推出, 所以如果一個命題在沒有選擇公理的集合論下是真的那麼在有選擇公里的情況下也是真的, 但是反過來就不對了, 當然對選擇公理持懷疑態度的人需要做的事情就是如何把一些需用選擇公理的證明轉化為不需要選擇公理的證明, 這是很難的事情.

大部分的情況下, 選擇公理的結論對我們的直覺不會造成太多的影響, 但這不說明選擇公理就是可由可無的, 比如

一些選擇公理/Zorn"s lemma的推論在(非純集合論的數學領域下):

在泛函分析裡面有個很重要的 Hahn-Banach 定理（然後就是一票的推論）

拓撲中的 Tychonof 定理

拓撲中的 partition of unity (就是paracompact 的集合對於任何開覆蓋的 partition of unity 的存在性)...好多詞不知道怎麼翻譯...當然, 在比如微分流形中可以繞過選擇公理直接建立partition of unity, 而且大部分應用 partition of unity 的領域 (比如 distribution theory, smooth manifold) 都是建立在局部歐式空間上的, 所以這一方面問題不大

流形的最大 Atlas 的存在性, 用處不大

拓撲測度的生成性 (generated topology or set-algebra), 用處很廣

代數中的各種代數結構的生成性 (跟上面其實類似), 在研究代數結構的範疇的時候挺有用的

測度論中的 Radon-Nikodym 定理（當然在一些特殊的情況可以繞過選擇公理）, 在概率論,隨機過程甚至數學物理領域是家常便飯了

上面的所有的選擇公理推論都其實可以建立在一個集合論中的抽象概念 filter 上, ultrafilter 就是通過選擇公理保證存在性的 (當然這是純集合論下面的...其實在數學邏輯裡面也挺有用的)

類似的 projective(還是project啥的) limit (定義在範疇輪中的東西當然上面的好多內容可以被包含在這裡) 隨機過程的 Kolmogorov 存在性定理是這個裡面的, 進而整個隨機過程都是建立在這上面的, 不過, 一些簡單的基於可數集的隨機過程可以繞過選擇公理

上面列出來的, 感覺都挺有用的, 但是是基於選擇公理的, 雖然一些特殊情況下可以繞過選擇公理. 所以, 要是不願意承認選擇公理, 上面的所有結論要麼沒辦法得到要麼就要想辦法繞過選擇公理, 比如 Tychonof 定理就不能繞過, 但是在 Kolmogorov 隨機過程存在性定理中用到了.

重寫，

其實

說到底就是良序原理的真正問題在於，我們沒辦法構造非平凡良序集。

因為AC與ZF是獨立的，我們不可能在ZF內構造出任意集合的良序。

也就是任何企圖想像一個非平凡良序都是徒勞的。

這就是違反直覺的地方。

個人是反對在數學中引入所謂的「直覺與違反直覺」這樣的東西的，