複變函數，實分析，複分析，數學分析是什麼關係？

相關問題：為什麼說Nanvanlinna的值分布理論是複變函數的巔峰？

為什麼說「複分析理論」是本科所學數學中最漂亮最和諧的理論之一？

謝邀。

（國內的）數學分析主要是討論實數、連續函數、極限、級數、微分導數、黎曼積分等等經典微積分的內容，它其實就是嚴格化的經典微積分（單元＋多元）；實分析主要是討論測度和積分，特別地主要討論勒貝格測度和積分；複變函數主要討論全純函數和半純函數的性質；複分析一般是選修課程，我在復旦旁聽的時候主要是討論了單復變的一些進階課題，比如單葉函數相關的Koebe 1/4定理，還有那個an&<=n的好像叫Bieberbach猜想／Loewner定理，然後還有Picard大／小定理等等。

從教學實踐上來說，一般是學完數分以後再同時學實分析（國內等價於實變）和復變（兩者獨立教學），學完復變之後再學複分析。但從邏輯關係上來說，不學數分直接學實變也是可以的，因為勒貝格測度和積分的定義實際上是獨立於黎曼積分的，只是它整套機器更為龐大而已。當然數分和實變的側重點是不一樣的，數分側重於計算技巧的訓練（更具體），而實變側重於理論體系的構建（更抽象）；所以對於能力足夠的學生來說，可以把數分和實變放在一起學，兩邊相互參考，理解更深，事半功倍。

按照國內標準：數學分析是微積分入門（必須有足夠的證明，否則不算分析），然後

實變函數論，研究更寬泛條件下的測度與積分，高級內容歸入實分析。

複變函數論，研究複數域上的解析函數，高級內容歸入複分析。

不過這些名詞使用並不嚴格，廣義上都可以認為是數學分析。

而國外的很多書籍並不搞某某函數論--某分析的兩階段名詞。甚至入門的微積分，只要講了epsilon-delta，也可以算作實分析。

所以如果你看到兩本書，一本叫《數學分析》，一本叫《實分析》，如果是國內的書，那麼後者深度遠大於前者，但如果是國外的書，不具體看一下目錄，不能這麼斷言。

複變函數和複分析有時是似乎是等價的，有時又有區別。

龔昇老師在他的那本複分析教材的前言里是這麼說的：

複分析是指複數域上的分析，更確切一些，是指複流形上的分析。作為大學基礎課教材，由於歷史的原因，複分析往往稱為複變函數論或解析函數論，而現在出版的教材，往往稱為複分析，因為這種說法更確切。例如，在本書中強調引入代數與幾何等到教材中，所涉及的不僅僅是在論函數。

然後龔昇老師就在這本書里講了很多幾何方面的內容。

基本上像複數的代數性質、解析函數論、柯西積分公式、無窮級數展開、留數定理、共形映射（保角變換）這些內容是複變函數和複分析共有的，其它內容就不太確定了。

複分析和複變函數是一回事，是描述解析函數性質的

數學分析類似於一個分析入門課，沒有嚴格的界限，可以理解為古典微積分

實分析是教你如何嚴格而體面的建立體積和積分理論的

數學分析:定義域為實數域(忘了有沒有擴大的實直線了)的函數、級數的極限、連續、可微性、黎曼積分積分在一元、二元和多元時的情況。簡而言之，歐式空間的微積分。

複變函數論:定義域為複數域的函數、級數的性質、極限、連續、求導、積分，從中間引出了解析函數、留數這些，是複變函數論的重點。簡而言之，複平面的數學分析。

實變函數論:歐式空間中函數的可測性，主要研究勒貝格測度，包括勒貝格測度的定義、依測度收斂、勒貝格積分和勒貝格測度的可微性等。發現沒，還是收斂性、積分和求導。可以對照黎曼積分來理解勒貝格積分和求導的一些定義。

以下關於實分析和複分析的描述僅從魯丁的實分析與複分析一書入手。但是複分析這塊我們沒有學很多，闡述有誤還請指正。

實分析:可測空間中的正測度、拓撲空間中的正博雷爾測度和勒貝格測度的表示(通常用積分來表示)、可測函數的性質(也是連續啊極限啊積分啊這些)。總的來說比實變函數論研究的空間更廣泛、測度更廣泛。