經濟學中，偏好與效用這兩個概念之間有什麼關係嗎？

01-02

是不是對某一事物偏好越大其效用就是越大可不可以這樣理解一個蘋果對我的效用為1 一個梨對我的效用為2 但我更偏好蘋果所以我購買了蘋果？？

Caveat Emptor：我說不好引入效用的概念對經濟學的意義到底怎樣。因為，似乎至少在一般均衡分析中可以不用效用函數，感興趣的可參考Lionel W. McKenzie的大作，Classical General Equilibrium Theory。

簡單的說，效用函數 $u: X o mathbb{R}$ 保證了 $(X/sim, succeq )$ 和 $(u[X], geq)$ 的同構，即任取 $x,y in X$

$x succeq y iff u(x) geq u(y)$

只是證明效用函數存在的思路還是挺自然的：當 $X/sim$ 有限的時候，令 $u(x) = # { y in X mid y preceq x}$ ,當 $X$ 可數無窮的時候，可以先給 $X/sim$ 編一下號，即建立一一映射： $I:X/sim o mathbb{N}$ ,然後令 $u(x) = sum_{z in {y in X/sim mid y preceq x}} frac{1}{2^{I(z)}}$ 。即使是不可數的 $X/sim$ ，思路很像從有理數構造實數，假如 $(X/sim, succ)$ 上存在一個稠密子集 $S$ ,按照我們剛剛做到的方式，建立一個效用函數 $v:S o mathbb{R}$ , 然後利用Dedekind cut的構造，令 $u(x) = sup_{z in { y in S mid y preceq x}} v(z)$ 。

但證明能表示成效用函數的偏好必然要有一個可數稠密子集就有些麻煩了。值得注意的是，Debreu定義了一個比拓撲(order topology)上的稠密稍強的「稠密」定義，但兩者的存在性似乎是等價的，雖然拓撲上講的稠密並不蘊含Debreu的稠密。比如令 $E:=(-infty, sqrt{2} ] cup [sqrt{3} +infty)$ , $E cap mathbb{Q}$ 是 $E$ 的關於order topology的稠密子集，但不是Debreu定義的稠密子集。

具體的， $(X, succ)$ 上的一個Debreu定義的稠密子集 $S$ 滿足，任取 $x,y in X setminus S$ , 且 $x prec y$ , 則存在 $z in S$ 使得 $z in (x,y)$ 。

既然存在一個效用函數 $u:X/sim o mathbb R$ ，而我們知道 $mathbb{R}$ 的一般拓撲上存在一個可數的拓撲基，即 $B: ={(a, b)}_{a,b in mathbb{Q}}$ ,那麼這個基在 $X / sim$ 對應的除空集外的原項為 $B^prime:={ u^{-1}[(a,b)] mid a, b in mathbb{Q} } setminus varnothing$

而 $B^prime$ 當然是可數的，需要選擇公理，存在一個選擇函數 $c: B^prime o X/sim$ ,這樣我們就有了一個可數的集合 $c[B^prime]$ 。但是會有 $x,y in X/sim$ 但 $(x,y) cap c[B^prime] = varnothing$ $(x,y) cap c[B^prime] = varnothing implies (x,y) cap X/sim = varnothing$ 因為如果存在 $z in (x,y)$ , 我們可以取 $m in (u(x), u(z)) cap mathbb{Q}$ 和 $n in (u(z), u(y)) cap mathbb{Q}$ 使得 $u^{-1}[(m,n)] eq varnothing$ 也就是說 $(x,y)$ 這樣的gap不會相互重疊，所以最多只有可數無窮個，把這些endpoints加入到 $c[B^prime]$ 中我們就得到了可數稠密子集。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

困難的部分在證明存在連續函數 $u:X o mathbb R$ 只需要 $X$ 的拓撲不比 $succ$ 生成序拓撲coarse就可以了。

定義Debreu gap為一個"最大的"interval $I$ ，即 $[a,b]$ , $[c,d)$ , $(e,f]$ ,和 $(g,h)$ 四種形式之一，滿足 $I cap u[X] = varnothing$ 並且任取interval $J supsetneq I$ ，則 $J cap u[X] eq varnothing$ 。

麻煩的來源是Debreu gap為半開半閉的情況：令 $X= [1,3] cup (4,5]$ $u$ 定義為 $x mapsto x$ 。在序拓撲中 $[1, 3]$ 不是開集合，所以開集合的原項 $u^{-1}[(-infty, 3.5)]$ 不是開集。從而，無法保證連續。

Lemma(Debreu(1964)): 當上述條件滿足，Debreu gap只能是 $(g,h)$ 這種形式。

據我所知，沒有Decision theory的教科書會講解這個證明，比如Kreps的Notes on the Theory of Choice和Fishburn的Utility theory for decision making（MWG，Varian的書當然不會提到這個引理）。我看了下[1]中的Bowen的證明，困難在於Bowen構造的 $u$ 的形式並不簡單的，難以找到這樣構造的直覺。另一方面，驗證滿足性質用的是反證法，使得構造和motivation的微妙關係難以發現。當然，一個可以給人一點cold comfort的信息是，Debreu是在時隔五年改正了自己1959發表的錯誤證明。

當我們有了Debreu"s open gap lemma以後，剩下的就是驗證 $mathbb{R}$ 的subbase，形式諸如 $(-infty, p)$ 和 $(q, +infty)$ 集合的原項都是開集。

References:

[1]:Bridges, Douglas S., and Ghanshyam B. Mehta. Representations of Preferences Orderings. Vol. 422. Springer Science Business Media, 2013.

[2]:Fishburn, Peter C. Utility theory for decision making. No. RAC-R-105. Research Analysis Corp Mclean va, 1970.

效用函數刻畫的是偏好關係，假如你相比梨來說更偏好蘋果，那麼蘋果給你帶來的效用就應當大於梨所帶來的效用。但注意效用函數雖然是一個數學函數，但在本例中它僅表示不同消費組合之間效用的排序關係，而非真正的，可以用數字來刻畫的「效用量」。換言之，你可以說你相對梨來說更偏好蘋果，但絕對沒辦法說「蘋果大於梨n個效用單位」。當然，在某些特定的領域也有用基數效用方程的，比如在期望效用理論中。

講道理經濟學上偏好和效用應該是11對應

也就是各種representation theory上的IFF

不過實際上因為dm領域發展的緩慢，基本上不管什麼效用函數都能找到和它對應的偏好公理體系不一致的地方

至於為什麼要弄出來效用函數

引用一下好了

「

The purpose of a representation theorem is to provide better understanding of the
model in order to give guidance in choosing among models for applications or other
purposes. Naturally, the choice among models hinges in large part on the nature of each
model』s predictions and representation theorems are nothing more — nor less! — than
a precise statement of these.

」

——"How (Not) to Do Decision Theory," with Eddie Dekel, Annual Review of Economics, 2010.

效用是基數效用論者的用詞，他們認為商品對人的滿足程度的大小是可以量化的，效用的大小代表商品對人的滿足程度。

偏好的序數效用論者的用詞，他們認為商品對人的滿足程度的大小是不可以量化的，人們只能夠比較兩個商品對自己帶來的滿足程度，例如是商品A大於商品B，但是不能說出具體大多少。

兩種效用論的本質是一樣的，所以A的效用大於B的效用，那麼肯定偏好於A。

效用是偏好的量度

話說這種然並卵的問題研究它幹嘛

效用是生產偏好的技術。