中國數學教育水平在全世界怎樣？
近日，網上爆料稱，「英國大學一年級的數學考題是勾股定理，中國高考的幾何題需要做出這麼多輔助線。」當教育部官員當眾展示高考數學題時，白髮的外國學者都發出一片驚呼，中國學者默然。這一事件被網友紛紛轉載，大家紛紛吐槽被數學虐過那些年所發生的虐心事。
我想問的是，外國數學教育真有那麼落後嗎？那他們的科技水平怎麼還這麼高？難道數學真的沒用？還是說外國的數學教育根本就不是爆料所說的那樣？
中國高中數學教育的缺點在於過分追求技巧而無視知識量的提升和知識結構的建立。比如說高考解析幾何題，很多就是二次方程求解各種折騰，還有各種數列題，各種不等式題，很多都是「湊」出來的。不禁想起本科某數學老師的話：「我們初中的時候啊，做因式分解題，都是老師隨便找兩個多項式乘一乘，然後讓我們去分解，呵呵呵呵呵呵呵」（怨念深重啊23333～）
中國中學數學教育的短板，還是在於上限。中國當然有很多中學生自學本科層次的數學，但是還不夠，我們不僅應當鼓勵優秀學生提前學習，還要創造條件讓他們學得更好。中國應該形成一種類似美國的AP的大學預科體制，讓對數學有興趣的學生能夠走得更遠。據我觀察，就算是超級中學，能夠開設微積分線代基礎群論以上層次數學選修課的中學也不多，大部分還是把數學課外補習的重點放在數學競賽培訓上。這還不夠，不足以滿足國內優秀中學生的需求。
當然,easier said than done.要實現這些目標，還有很多阻礙。首先國內優質教育資源還比較稀缺，可能只有少數超級中學有條件開更高層次的數學課程。其次，國內中學教育畢竟還是以高考為指揮棒，如何處理「準備高考，保證升學率」和「課外知識拓展」之間的關係，也是個實際存在的問題。比如說當年學科競賽取消加分保送以後，很多中學都對競賽培訓採取了消極甚至阻礙的措施，因為對學校升學工作「無利可圖」嘛～而提前學習大學課程，除了對自主招生可能有不明確的意義以外，對學生升學率的提升並沒有肉眼可見的效果，因此也可以理解有些中學會對這些事情有抵觸情緒。我就按順序具體回答問題吧。
從題主的角度講，外國數學教育落後的方面：我在美國當TA時班上只有一個中國學生，Calculus 2 for engineers，該中國學生遠遠強於班上其他學生。後來在德國參與過微積分和線性代數的閱卷，目測大部分學生得分不能過半。
精英層面：分層次教學讓學有餘力的學生可以在很早就接觸高等數學，國外大學教授的水平可以深入淺出的把學生引導到學術研究的前沿。直接舉我知道的例子。我所在學校的研究生課程偶爾會有高中生參與，據我同事說，學得不錯；去年這個時候德國報紙頭條報道了某數學家成為德國最年輕教授的事，此人就讀的就是柏林的某天才高中，上大學之前已經修完絕大部分大學數學課程，本科加博士大概用了五年，畢業就是波恩大學教授。拿中國人中的數學精英和國外的數學精英比，我不認為中國人弱很多，至少在我了解的基礎數學領域。請注意，這裡說的不是在中國的數學精英，而是中國人中的數學精英。另外，不能純粹的拿中國人和所有外國人比，這沒法比。大概從六、七年前開始，每年新鮮畢業的數學PH.D.市場上中國人在很多領域都有非常強的競爭力，行內人知道我說的什麼意思。長此以往，華人數學界的地位提升只是時間問題。至於科技水平的高低，個人以為跟基礎數學的研究水平或者民眾的數學基本素養沒有什麼直接關係。所以我要把話題切換到應用數學，個人以為應用數學確實與科技水平有很大的關係。工程，經濟，航空航天，計算機技術都要與數據打交道，跟數據打交道離不開應用數學。但我國應用數學的水平，拿我的本科院校舉例子。基礎數學系雖然已經基本與國際脫軌，但至少能夠給學生提供某些純數學領域的科學訓練，偶爾也能做出一兩個比較前沿的數學成果（還是只是某些領域）；應用數學系基本就是渣吧，培養出的學生基本沒有人繼續做應用數學的理論研究（是的，讀應用數學博士的很多都是純數學或者物理出身，而應用數學本科畢業的最終去做什麼大家都懂），研究成果也是不值一提，連當時還是本科的我都能看得出來。對於這個現象我倒是有些猜測，最重要的我覺得是體系。我國數學科學與數學應用基本脫節。一方面很多理工科與數學各自為政，相互之間互相不買賬。另一方面我個人感覺至少中國學純數學的人都有些清高，我這有例子：我的好多朋友都會覺得應用數學裡面的數學很無聊，另外有些深愛（一個人看數學覺得美妙的時候能夠激動流淚）純數學最終轉應用的人聊起基礎數學還很投入（至少剛轉行多久的時候），聲稱跟那些本來就是學應用或者統計的人不在一個世界。這些都只是客觀存在的現象而已。真正重要的，是如何在現有體系中建立起良好的應用數學學科，使之能夠真正起到數學和科技發展之間橋樑的作用。
所以，數學是有用的，關鍵是看怎麼用。
至於爆料，新聞報道最基本的要求就是取材真實。但是光取材真實還遠遠不能說是好的報道，沒有全面客觀詳實的材料，任何觀點都是站不住腳的。光是為了吸引眼球的報道，那隻不過是嘩眾取寵而已。
最後還想說一件與問題無關的事。決定教育模式的一個關鍵是資源，而我國數學教育資源匱乏。在大學並沒有那麼多能夠引導學生進入學術前沿的導師，有時候即使有這樣的好老師也不受重視甚至被排擠；在基礎教育中，有能力教授高等數學課程的高中老師也只是最近才出現，且基本只集中在大城市。與此對比，歐美尤其是歐洲一個不出名的學校都有可能有世界級的數學家，而眾多最終走向數學道路的歐美數學青年都受到過中學數學導師的啟蒙。
11月20日更新我發現關注這個問題的知友挺多，在此呼籲有相關背景的人分享自己的經歷。首先歡迎大家指出我描述中不準確的地方，因為個人經驗的原因，很多地方我看到的只是小局部，認識肯定不全面。
然後非常希望有人能補充說明以下幾點：國內應用數學學科包括數學在理工科中的應用的情況，我個人完全不了解，前文提到的一點只圖拋磚引玉。國內高中數學教學中是否已經有些學校提供了高等數學的選修課程，不知道是否還有人記得程代展老師的學生，我的記憶中應該是去了北京某高中，所以很多中學應該確實有能力提供這些課程。歡迎任何與問題或回答相關的評論，但請不要只拋出你的觀點而不給以任何解釋。謝謝！如果是指基礎教育水平的話，那麼的確是這樣的。中國大多數經濟強省的數學教育水平能秒殺歐美各國。在2009年之前，大中華地區只有香港和台北參加了OECD組織的PISA測試。PISA: 國際學生能力評估計劃
OECD: 經濟合作與發展組織
前三次測試的時候，歐洲各國還在研究為什麼芬蘭的成績領先歐洲各國。然後大上海申請加入了，直接空降了三個排行榜的頭名。
Mathematical Literacy
Mathematical literacy in PISA is understood as follows:
- Adolescents identify and understand the role of mathematics in our world.
- They are able to make substantiated mathematical judgments and engage with mathematics in a way that corresponds to the challenges and demands of the current and future live of a person as a constructive, committed and reflecting citizen.
(cf. German PISA Consortium [2001]: PISA 2000)
The PISA framework elaborated three basic competences that are considered crucial for applying mathematical literacy in everyday problems:
1. Content Areas
- Quantity: all kinds of quantifications with numbers, understanding of quantity and identification of patterns of numbers
- Change and Relationships: mathematical representations of change processes as well as different kinds of functional relationships between mathematical objects
- Space and Shape: all kinds of plane or spatial configurations, shapes and patterns
- Uncertainty: mathematical phenomena and situations containing statistical data and involving chance
2. Competence Levels
- Reproduction
- Connections
- Reflection
3. Core Competences
- Logical reasoning and argumentation
- Problem solving
- Modelling
- Representation
- Applying symbolic and technical elements
- Communication
按我的理解，題主問的是國民的數學素養，而不是數學這門學科的學術研究水平。
和歐美髮達國家相比，中國人的普遍數學素養是，比他們的學渣強一些，但比他們的精英弱很多。尤其是工科，和歐美一流工科專業相比，很多中國工科學生的數學水平簡直差到不忍卒視的地步。
那麼，為什麼我們的媒體總宣稱「外國數學教育簡單」？因為這些媒體文稿的作者總是喜歡從國外的學渣身上找自信。
為什麼他們的科技水平怎麼還這麼高？因為科技的發展是由精英推動的，而不是由學渣推動的。————————————————
更新：
評論里有同學指出「中國人的普遍數學素養是，比他們的學渣強一些，但比他們的精英弱很多」這句話指代不明，所以我做一下解釋：1、「比他們的學渣強一些」——數學素養為「學渣級」（比如看到sin、ln都頭疼）的歐美人應該比中國人多。2、「比他們的精英弱很多」——數學素養為「精英級」的理工科學生（比如精通數理邏輯、Domain理論、範疇論等進階數學課程，而不是連微積分、線代、概統等基礎課都頭疼的計算機專業學生）在歐美一流理工科專業中的比例遠高於在中國985高校理工科專業中的比例。對中國數學教育的反思：其實我們和國外的差別就這一點——分層次教學。1、我們對有理想的理工科學生的中學、本科數學教育不是太難了，而是太簡單了。應該通過選修或AP課程的形式（參考：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/大學先修課程），讓一部分有志於成為精英的同學有機會在中學學微積分（而不只是初等數學），在大一學數學分析、高等代數（而不只是微積分和線代）。2、我們應該尊重文科生和沒有理想的理工科學生的選擇，不要歧視數學學渣。只要設立門檻不讓他們進入一流大學的理工科專業，他們對數學的憎恨就不會影響科技的發展。
幾個同事（猶太人，阿人，西班牙人，法國人）有一次在辦公室小白板上算一個很簡單的二次方程，我隨口報了個答案，他們都愣了一下……然後問我為什麼知道……我只能說。。。。因為我是中國人吧……對了同事中有一個是研究物理的博士……
超市裡買東西，非常簡單的運算有時收銀員也都算半天……
不過這不能證明什麼，只是反覆訓練的技巧而已，和真正的數學思想差的遠了。中國人是學數學，老外是創造＂數學＂。
如果以科研水平而論，中國數學研究水平目前是世界二流。肯定領先中國的是三大超級數學強國，美國，法國，俄羅斯。這三個國家毫無疑問是超一流的。其次日本，英國屬於世界一流水平。
中國目前處於二流水平，十年之內應該可以達到世界一流水平，但要達到超一流估計還要三十年至少。而且教育體制必須改革才可以。
中國數學二流體現在以下幾個方面：
第一：國內大學數學系水平遠遠落後世界一流學府的數學系。中國目前最強的是北大，但北大哪一位教授可以在世界上叫得出名字？很遺憾，沒有。
第二，沒有大師。如丘成桐所言，解放之後，中國只出半個偉大數學家，那就是華羅庚。他最優秀的成果還是解放前在美國做出的。解放後忙於政治鬥爭，因此只算半個。除了華，實在沒有什麼東西貢獻給世界。至於陳景潤的哥德巴赫猜想，第一他沒有完全證明，第二哥德巴赫猜想在數學界的重要性並沒有國內所謂的那麼重要。數學要上去，領軍人物很重要，歷史上的莫斯科學派，東京大學，波蘭數學都是靠領軍人物的魅力。
第三，國內數學文化和土壤還沒有達到要求。
中國數學缺乏高等數學研究需要的土壤和文化。好比足球，為何歐洲和南美牛逼，因為人家已經有了足球文化。法國數學之所以幾百年來屹立不倒，和法國文化重視數學非常有關係。
現代數學是西方文化的產物之一，因此有著特有西方人思維方式和邏輯習慣。西方人擅長分析，抽象思考，這些都是東方人薄弱的環節。
第四，中國的數學好苗成功率太低。
數奧金牌的孩子都是學數學的好苗子，但有以下幾個惡果：
1） 真正有數學天賦的孩子不一定擅長數奧。數學研究和競賽是兩回事，數奧扼殺了許多真正有天賦和對數學有熱情的孩子。2）數奧金牌孩子過早接觸大量數學，其實對數學成長是有害的。這個話題我以後可以詳談。3）數學研究需要天賦，更需要熱情。中國孩子普遍缺乏對數學和真理的熱愛。4） 受不了外界誘惑，改行金融的太多了。說下我在美帝的經驗~~
外國數學教育真有那麼落後嗎？
是的。就是這麼落後，見我在另一個問題里的回答 http://www.zhihu.com/question/27760250/answer/38173431 理工科本科生，連乘法交換律都不懂，簡直令人髮指。
由於中學裡數學不是必修課，美國一般人的數學水平簡直低得讓人費解，但是美國不同的一點是如果你真的想學，一般可以獲得豐富的資源。比如我以前助教的時候 office hour 來了一個高中生，讓我給他解釋電磁學裡面的體積分怎麼算，我就大概講了一下，他居然聽懂了！！！於是我給他推薦了幾本書讓他回家看。然後我問他怎麼找到這裡來的，他說他們高中有個活動就是可以到大學裡參加科研。於是他到了我們系某個教授的組裡，然後教授就把他介紹來了。
所以美國就是這麼一個極少數精英領導著大多數傻逼的國家。我數學在國內算還好吧，理科高考一百三十幾（滿分一百五十）。
大學輔修統計學。頭幾年那是很省力的，因為讀低等級數學課的有很多普通學生，很多人不是數學專業的出於興趣或者其他專業的需要而讀這些科目。
到了第二三年，同學大多是數學相關專業的人了。雖然我的數學還是算不錯，但是班級里成績最好的並不是我，而是一個白人，而且很有天賦，腦子很快，可是把我給比下去了。
我以前在國內的時候也聽說外國人數學很差什麼的，但我覺得外國人里也是有很多很有數學天賦並且真心喜歡的人的。至於大家的偏見，可能來自於國內人對於「算術「的注重。比如我在國內的時候，什麼兩位數相乘，四位數相加，都是心算的。但美國連數學老師也拿著計算機算兩位數乘以一位數的乘法。在這種環境下面，我也開始偷懶，現在去飯店吃飯給小費都要拿出手機用專門的軟體算。計算能力肯定不如以前了。
總結：中國人比較注重數學教育，所以普通的美國人的數學水平可能確實不如中國人，但說到學習數學能力的話，同樣是學數學專業的學生，以及再往上的高端領域，美國人里也有很多才華橫溢的人。其實我覺得，比中學平均水平的話，中國學生一定比歐美學生強，但是從長遠角度看，我卻覺得美國看似更加自由松垮的數學教育體制更加優秀。六年的書山題海，猶如練兵一般的嚴格操練，的確是賦予了我們紮實的數學功底，然而在經歷了這樣的苦練之後，又有多少人對數學抱有興趣和探索的激情呢？對於天才們來說這等小小磨練不值一提，然而對於一些也許對數學還抱著一絲熱愛，但並不適合刷題考試的同學來說，太高強度的訓練會讓他們身心俱疲，決定高考後再也不碰數學。堅實的數學基礎讓中國學生能夠在北美大學低年級的數學課上輕鬆虐場拿高分。特別是對非數學物理專業的小夥伴來說，基本上完calculus一個linear algebra就揮別數學了，給滿教室的美國小夥伴留下一個中國學生超級機智的背影后就瀟洒離去。但是在上完calculus和linear algebra之後，那些數學特別渣的美國小夥伴也大批地撤離，留下來上更高level數學課的小夥伴們都是真心喜歡數學並且（很大一部分）是受到過比較良好的訓練的。他們在高中畢業之前就有學完單變數微積分，有些大一一開學就直接上多變數和實分析。而且因為高中沒有被壓迫著學習，上什麼數學課，上到什麼程度全都是由自己決定，這些小夥伴們的學習主動性特別特彆強，一個證明想四五個小時也會興緻盎然地想下去，假期會主動找research看paper自學一些感興趣的理論。這個暑假我身邊有一個小夥伴就在和教授一起研究knot theory，每天看書推導十小時以上，他就是純粹覺得超級有趣超級好玩，和數學相濡以沫的日子每天都很開心。我身邊有很多這樣的美國小夥伴，天資聰穎，滿腔熱情，願意在自己愛的學術道路上不屈不撓地走下去。這樣的他們，雖然或許曾經刷的題沒有我們多，速算沒有我們快，但卻在數學道路上越走越長，越走越穩，本科四年過後，他們已經有了挺不錯的research，帶著NSF的funding去讀數學Phd（我上學期物理課的TA，數學物理double major，就是geometry方向的NSF Scholar）。我很喜歡和他們在一起學術的感覺，很純粹，很溫暖。我也很喜歡上北美的數學物理課，因為這裡的教授曾經也就是曾經的「他們」，教授們滿懷熱情地教我們數學，就好像是給我們摘下了天空中最亮的星星，從教授和小夥伴們的的眼睛裡我看到一模一樣的嚮往和敬畏。我相信這樣的學習氛圍一定會培育出驚艷世界的數學大師，而中學時因為多刷或者少刷幾年題所造成的「平均水平」的差異，似乎已經不再重要了。
十多年前一個夏天我研究生最後一段時間無所事事，跑到杭州參加一個數學研討班。名為「數學研討班」，參會的其實大多是工科院校的研究生和青年教師，講師是北美的華人教授，大多本科或研究生得到數學的學位，轉行在計算機、金融、電子、工業工程、運籌學與管理等領域拿到教職。所以這個研討班基本上是給工科同學補應用數學課的。
在一堂隨機微分方程課上，老師扯得興起，開始針砭時弊，眉飛色舞的把國內主流數學界數落一通。恰好有同學問，那中國的數學水平在世界上怎樣？此君稍一遲疑，介面道，嗯，跟中國足球在世界上的水平差不多。同學們哄堂大笑，課堂上充滿了快活的空氣。
彼時雖然金州慘敗殷鑒不遠，但國足衝擊日韓世界盃在望，「亞洲二流論」是頗有些人不服氣的。如今國足輸泰國平印尼，欲求亞洲二流已是不可得了。理論數學方面不懂，工程應用方面的情況是：1、洋鬼子搞工程的，數學也牛逼；搞數學的，工程也懂。2、我們這邊自從把學院學科分得越來越細之後，大家習慣在自己的圈子裡兜圈子。口號喊得很響，要建設綜合性大學。但是，不同學科的老師和學生沒有交流，你學科門類越全，越是一個諷刺。
我們的普通群眾數學水平高於國外，也就這點了。
我在一家工程設計院工作。接觸的從施工人員到央企業主到水規總院到政府。昨天我列表告訴業主每種單個零件的容量（一共四種），和每種零件的個數。業主專門打電話找到項目經理，又找到我，希望我告訴他每種零件的總容量。這個人並不是外行，他也算是工程師。1還有工程行業人員不會換算平方米和平方公里的。還有不知道公里和米的換算的。學電力的不知道千瓦和千瓦時。2平均風速是不是就是把風速平均起來呀？3任何涉及到一元一次方程的問題都能搞蒙一堆人。4折現率和凈現值對某些負責項目決策的人來說，跟天書一樣難以理解。5所有涉及解析幾何，向量和微積分的，都是高精尖的技術，能理解的百里挑一。我覺得大部分人是來看吹噓中國數學第一的， 那我就來提高一下大家的知識水平：）
注意，以下所有考卷都是當地高考水平，用於大學錄取。
先看大家一直嘲笑的英國
Cambridge STEP TEST Level 3，劍橋本科數學系錄取考試
STEP 3 PDF，怎麼樣，是不是就笑不出來了
再看華人多的地方，比如新加坡
H2 Further Math, A level 高等數學
這裡有個compilation，H2 Further Math
H3 Math，性質類似於AP Calculus
H3 Math
所以啊，我們還需要多學習一個，不要整天嘲笑那些西方國家的用計算器的人，可能我們厲害的也只有那些加減乘除
好得太粗糙
本文較長，加很多黑體，是為了減少沒有耐心的同學閱讀時間，實在迫屬無奈。用黑體是沒有禮貌的。本文所談都是基於筆者個人的經驗和判斷。仁者見仁，智者見智，如有冒犯，實屬無心。這是筆者離開知乎前的最後一篇答案，所以打字的時候，儘可能做到毫無私心，只希望後學少走些彎路，盼望同窗和前輩能認真對待教育這個行業。一句話來說，我覺得中國的教育缺乏的是常識和責任。懂得數學教育的常識卻不願意付出去創造實現這些常識的環境，則教育不行；用心去教而疏於常識，則會是南轅北轍。而中國的教育，在我看來，能認真貫徹以上兩點的老師實在是太少了。一個數學教師，數學不一定非要頂尖，但一定要具備理解和欣賞數學的能力，知道怎麼樣學數學，這是常識得以建立的前提，如果自己對數學的世界觀都理解得很差，怎麼可能教得好學生呢，更有可能誤人一輩子。 同樣，用心去教並不是指花費多少時間，或者如何諄諄教導，而是在於站在學生角度，切身體會學生可能面臨的困難，並能因材施教，耐心地去啟發他們，做到這點，大概就是儒家說的「仁「了吧？ 其實，這一點才是最重要的，如果一個老師真的能夠誠於心，將一切的出發點都放在學生身上，那麼他／她定然會謹慎對待自己的一言一行，殫精竭慮地去不斷充實自己，進而讓學生受益吧？突然想到，上面那段話說的不就是「學而不厭，誨人不倦「嗎？儒家的內容最是實用，也最是被人忽略，真是可惜。立身為人，儒家最是適合築基的。－－－－－－－－－－－－－－－Part I 常識篇－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－什麼是常識呢？要是我說一陰一陽謂之道，估計所有人把我噴死。然而我也不知道怎麼用現代語言說清楚，就羅列幾個在我求學過程中重要的問題，自問自答。長久只用英語說數學，中文真的不太會了，如果用中文說不清楚的，我就用英文來答了。之所以強調常識，是因為它們是根本。我們中國人總喜歡講頓悟，悟出很多很多道理，我認識一些人總喜歡說美國人沒文化。怎麼說呢？別人是把常識教育看的很重要的，我下面將要寫的內容可能人家中學時候都知道了，已經潛移默化到生活中，而我們總在講頓悟，其實頓悟的原因是很多時候根本的問題沒有明白。走了很久的彎路後頓悟，其實已經浪費了很多時間。（北大博士程海波這麼說的，他是我迄今為止最佩服的同學，也是唯一一個我認為做到學而不厭，誨人不倦的同學，在此向他致敬。他太低調了，處眾人之惡，我遠遠不如。）當老外在沒有困惑的學習和玩耍的時候，少部分國人還沾沾自喜吹中國人聰明，吹中國的文化，說老外沒文化，我真是無話可說，對這樣的人，敬而遠之，所幸，學數學的人很少夜郎自大，大概總是被燦爛豐富的內容和鬼斧神工的證明打擊吧。。。下面說正題。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第一， 什麼是數學？恩格斯說：數學是研究（廣義的）數量，大小和空間結構的科學。這話我現在看也是對的。經過系統學習很多數學知識，讀過很多paper之後，真的發現，至少對於我來說，無論再高深的數學，最後在大腦里的顯意識中，都會劃歸為空間，數量，大小，巨細，運動軌跡等感知，這是根本，感知力越強，對數學的理解越深，也越遊刃有餘。這解釋了為什麼很多時候一個看起來很複雜的定理和證明，最頂尖的人往往能用最簡單的圖說明白，幾條曲線，一個球，幾個基本不等式，一切盡在眼前。這個數學的定義，本來應該在人們剛開始學數學的時候老師就該就說明白，我到大學才知道這個定義的。我見過太多十分勤奮的人學不懂數學，最後歸結為沒有天賦。其實，大多時候是因為越學越傻。如果知道這個數學的定義，就會知道一切都會劃歸到感知力上，那麼下了功夫而學不會，就是感知力的問題，提高感知力並不是沒有辦法。譬如，多睡覺和運動，保持精力的充足，精力好就，會專註，感知力就會提高，看這個世界更生動，積少成多，就上來了。所以勤奮的人學不好數學，是缺乏睡覺，運動以及其他娛樂罷了。譬如音樂，樂以養人，這是君子六藝之一，怎麼不學呢？ 我見過的老師們從來都不強調這一點的。我自己運氣好，高中時候怎麼都學不懂空間幾何，幾於放棄，後來一個周末被損友帶著玩CS，突然就悟了。就是這個道理。我們缺乏常識缺乏到什麼程度呢？看看我們以前的教育。我們認為，一個優秀的科研工作者就是夜以繼日的思考，勤學不輟，這種sterotype的宣傳在我學習的那個年代到處都是。這是最大的騙局啊。 I think sleeping on it
was what helped the most. I find my mind does a lot of unconscious
thinking while I sleep or daydream. 就是說要多睡覺，多把問題留給潛意識。這是美國一個中學生都知道的問題啊。是我以前太蠢嗎？我到快大學畢業才漸漸明白這個道理。總之，明白這個根本原因，就會少很多彎路，少很多莫名其妙的頓悟，專心致志，怎麼會學不好呢？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第二，為什麼中外很多研究生以上的教材都是一個又一個定理和證明，而enlightment和insight很少呢？Reason 1 The goal is to learn how to do mathematics, not to "know" it. Nobody ever learned much about doing something from either
lectures or textbooks. The standard examples I always give are
basketball and carpentry. Why is mathematics any different?People learn maths by doing math or talking math, not by reading math. 說的其實又是儒家說的「吾常終日而思矣，不如須臾之所學也。「 儒家認為行百倍於言，言百倍于思。 思想總是輕快地前進，那是因為沒有根基。然而到了數學這裡，你不可能像寫文學那樣天馬行空，想像力也是建立在規矩之上的。學的多了，練得多了，自然不思而得，不勉而中。不用太在意想明白什麼，而在於做明白什麼。做了，自然就想明白了。我們每天下午的coffee hour經常去交流學數學，我發現這是美國人的常識，他們說這個道理他們中學就知道。我一點都沒有誇張。 Reason 2 The best way to learn is through
"guided struggle". You have to do the work yourself, but you need
someone else there to either help you over obstacles you can"t get
around despite a lot of effort or provide you with some critical
knowledge (usually the right perspective but sometimes a clever trick)
you are missing. Without the prior effort by the student, the knowledge
supplied by a teacher has much less impact.
用中文說，就是「不憤不啟，不悱不發「。當然，這個常識是老師和學生必須知道的。學生知道，就會增加挫折的承受力；老師知道，就應當明白老師起的作用，不要總不上心教育。
然而，無論中外，好的老師都很少，所以，老外的解決辦法是：
A substitute for a teacher like that is a working group of students
who are all struggling through the same material. When I was a graduate
student, we had a wonderful working seminar on Sunday mornings with
bagels and cream cheese, where I learned a lot about differential
geometry and Lie groups with my classmates.
然而，我發現，起碼我當時所在的班級，大都缺乏這種熱情吧，被無腦的老師誤導，老師對怎麼學數學也是一知半解，真是坑了一批有一批人。團隊學習是中國教育缺乏的，經常提團隊精神，不過是口號吧。
Reason 3 「This common and unfortunate fact of
the lack of an adequate presentation
of basic ideas and motivations of
almost any mathematical theory is,
probably, due to the binary nature of
mathematical perception: either you
have no inkling of an idea or, once
you have understood it, this very idea
appears so embarrassingly obvious that
you feel reluctant to say it aloud;
moreover, once your mind switches from
the state of darkness to the light,
all memory of the dark state is erased
and it becomes impossible to conceive
the existence of another mind for
which the idea appears nonobvious.「 （By Gromov)
Or : One simply cannot communicate what one understands, but can only communicate what one knows. (by my friend)
用漢語說，道可道，非常道。我就不闡釋了。這句話應該是常識，結果被各種人當玄學忽悠，也是醉了。---------------------------------------------------------------寫到這裡，突然沒有寫下去的慾望，我經歷過太多太多的問題，最後發現都是常識的問題。天資並不重要的。做頂尖的數學家需要天資，做好的數學工作者不需要天資。所以，僅僅是學好數學，會用數學，更不需要天資。這話最先是陶哲軒曾經在他的博克說的，劉小川率先翻譯並登上報紙。（現在應該還有很多年輕人受劉小川師兄的啟發吧？向他致敬。）總之，有太多的常識需要普及了，我沒有時間和本事一一列舉。常識缺到什麼程度呢？以致於有人認為心算算得快，也叫數學好，來嘲笑美國人一番。真是無知啊。數學從很多美國人嘴裡表達出來，真的普遍比中國人高明啊。這部分解釋了為什麼很多人學得少，但善於做出好東西。（儘管我也沒有數據支持。） 最後我來貼一個我覺得寫的不錯的答案soft question 可能對科研階段的人覺得一般，但初學者看了會受益的。如果讀到這裡的學數學的同學，有時間去mathoverflow, 或者math stackexchange，把上面最高的vote的問題都掃一遍，基本都是從大學數學到博士數學，以及科研里遇到最常見的軟問題，但卻是最重要的常識。一定要看的，否則會走很多很多彎路。這也算是我走之前的肺腑之言。來知乎收穫頗多，只恨不能反哺於此。正好今天藉此機會，一併多說些。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面談第二部分，也是最重要的，教師怎麼教？、未免枯燥，我就先拿我的教學當個例子吧。我這個學期第一次教書，很多不足，但是我是用心教的，每次上課前，都會很莊重地站樁調氣，定而後靜，靜而後安，安而後慮，慮而後得，正是正心誠意。我一直把教育看成神聖的事情。這個學期我教的是微積分習題課，下面是一個大概的總結。一開始，既要樹立威嚴，又要讓學生覺得可以近距離接觸。這一點其實不難做到。就是開始把規矩定死，然後可以慢慢放鬆。 開始放鬆後面定死是不好的，大家都聽過朝三暮四的故事吧？某種程度上一個道理，教育也是藝術。 講課的時候，盡量讓不同level的人都能有所收穫，因材施教。要做到這一點，就要求老師有遠遠超過學生的水平。老師傳授學生的有時候不僅僅是information，還是智慧。我常常喜歡拿彈奏樂器來比喻學數學，也是藉以來回答學生總問為什麼的答案：There are two answers. The honest answer is, I don"t know. It just like playing a piano. You play so many times that you even don"t know how you later become so skilled in doing it. You don"t realize how your mind works. It just happens. All you need is just practise. You should play with math, not be played by math. 這算一個通用的答案，既提到了常識，又能勸學，講做的重要性。The satisfactory answer is， blablabla（這個需要智慧來補充，因問題而異。比如這個問題Edit - Mathematics Stack Exchange） 然後解釋完後，我說。So you should realize this is the beauty of math. I just want you know there are things that computers cannot do but we human beings can.這個更能引起學生的興趣。還有很多，略。然後，在cooperative quiz的時間，不要等學生有問題再過去，要經常走動，看到他們討論的時候，要參與，what are you discussing about? 因為學生的想法有時候很幼稚，雖然他們能得到正確的答案，但很多想法是有很多問題的，這個時候需要老師未病先治，否則等不成熟的想法積少成多，最後就麻煩了，我班裡同學就事後很感謝我，因為總及時指出他們的錯誤，即使他們的答案是對的。（改quiz的時候是不可能知道他們怎麼想的。未病先治是我讀黃帝內經時學到的一種精神吧。）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－總結下：第一，明白學生的認知過程。國內的大學數學教材，甚至是微積分，喜歡上來就是定理－證明－定理－證明，比如南開大學基地班以前那本臭名昭著的《數學分析》（李成章，黃玉民) 以及《 高等代數與解析幾何》（孟道驥）。 這些書純粹就是裝逼用的。一個沒有經過大學數學訓練的人，上來接觸這個，除了少數人大多會厭學吧？ 而老外用的微積分一般是James Stewart，之後學vector calculus的時候用到Thomos，都是喜歡用生動的例子和故事來啟發學生，每一章每一節都是歷史，例子，應用。我一個博士生，每次看到那樣用心寫的教材，都仿服見證了一個個大數學家物理學家的發現史，如史書般，被深深地吸引。那個時候，真的感覺到人類智慧的偉大，上達宇宙，下至微觀，心生激蕩，不能自已。子說：知之者不如好之者，好之者不如樂知者。 興趣的重要性誰都知道，但是老師們很少願意那樣付出。所以有時候老師要經常保持學習的熱情，只有學習，才能常常經歷思考後得的過程，才能對學生的學習感同身受。學而不厭的老師，也能往往作為表率——連老師都在不停地學習，何況是學生呢？以身作則的老師才受學生尊敬。第二，發自內心愿意幫助學生。這一條也適合所有學科。很多學生是否喜歡一門課往往取決於教課的老師，而不是自己的興趣。如果能夠讓學生感覺到老師的誠意，發自內心愿意幫他們學好，他們會接受你，從而把心裡的叛逆放到最低的程度。這一條也是根本，這在最開始說過，不贅述。第三， 寓教於樂。教學重在啟迪智慧，而不是傳播信息。這也是中國教育欠缺的吧？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我不想談什麼體制的，我遠遠沒有能力去參與這種體制的變革，能做的就是正己化人。（可是我還做不好，根子還是因為生活習慣不好。）還是接著說吧，個人能做的就是把自己的角色辦好，收心簡事，先救自己後救人。從小到大走了很多彎路，現在正是奮力追趕的時候。寫這麼多東西也是逾越，甚至寫的都是水，然而這也是沒有辦法，很多想表達的內容沒法表達。今天和老闆討論了5個小時候其實已經筋疲力盡，到了辦公室開始構思敲字，到現在已經不知道自己在說什麼。就到這裡吧。這個問題也是我最想回答的問題，可惜在一個錯誤的時間回答了。知乎上數學大神很多，但是好的數學問題太少了。大神們都不會在這裡吧？我這算拋磚引玉吧。有太多的東西可以說了。走到現在，同班裡真正堅持學數學的人不多了。很多人放棄，因為缺乏常識，甚至被老師誤導。即使是數學家在求學過程中也有諸多不順，很多人都產生過放棄的念頭，為什麼一定要一帆風順才堅持學數學呢？有遠遠理解不了的東西不是更好嗎？最後貼一篇很有幫助的PDF，給年輕科研工作者的指導，菲爾茲獎得主寫的。http://press.princeton.edu/chapters/gowers/gowers_VIII_6.pdf--------------------------1-------------1------後記---------------------------------------沒有實力談情懷就是吹逼。有時候不做確實不明白，本以為沒有任何私慾的答案，寫了這麼多還是有了齷齪的心理。希望認識我的同學忽略這篇文章吧，還有，我的心思您一眼就看透了吧。還是睡覺睡得少的原因，邪念多。。。。。。以後潛水，再不寫任何一個水的答案。從根源是杜絕類似今天的劣行。果然不完全誠實啊。再三考慮，不刪了。慎獨果然有道理的。這是個複雜的問題。
國內本科數學的教學速度、難度均在國外之上，且國內合格的高中畢業生水平遠高於國外。照理說結果上國內的應佔優勢，但事實上不是。我認為主要在於理解的牢固程度。
國外冗長的課程讓學生對教學內容的記憶更為深刻。相比之下國內的學生反倒因為課業太重從而將數學課變成「應付考試」課，對內容的理解浮於題目，從而難以掌握高階概念及高階數學應用。
這裡又衍生出一個細節問題：「如何加固記憶」？答案是，「不求全責備」。你會發現國外很多教材內容都是浮於表面的白痴內容，但也正是這樣反倒使其易於理解記憶。更深更複雜的理解我們下回分解，這回先擱著。而國內高端大氣上檔次的推導過程確實造成了理解障礙。
另一方面，題目設置上，考試就是學習的風向標。國外考試對刁鑽猥瑣的技巧不是很感冒。學生們自然而然對概念本質挪出了記憶空間。總結成一句話，就是「合理的捨棄、簡化是通往樓頂的要訣，如火箭拋棄燃料箱一般。」
所以結果就是，隨著跨進大學的校門，國內學生的平均數學水準被無形地超過，從而在高端研究上輸於西人同意@申力立 說的分級教學, 對於文科生和不想學好數學的理科生, 讓他們會用Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine 就行了.
一來讓他們知道數學是幹什麼的, 二來讓他們知道數學用起來有多方便, 學起來有多難抖個機靈
我認為我們對於數學考試比他們強，對於創造和運用數學公式我們弱～
推薦閱讀：
※中國是否應該取消（除千人計劃和青千計劃外的）其他對留學歸國人員和訪問學者的優待政策？
※有沒有什麼有教育意義的動漫可以推薦給五年級叛逆的男孩子？
※如何進行時間管理？
※專升本應該如何準備？
※為什麼人們都喜歡說：這件事情發生，你要反思自己的問題？