在各自保留價格不公開的情況下，多人怎麼瓜分利潤？

假如有四個人，瓜分20單位利潤，每個人都有自己最低的可接受利潤且一般來說互不相同，比方說四個人中的某某某，當分到的利潤小於3單位時便會拒絕瓜分利潤，四人中的任何一個人拒絕瓜分時，整個瓜分交易就會流產，而每個人的最低能接受的利潤數額是私有的，不公開的。請問四人中最有權力的甲怎樣設計一個瓜分模型讓自己的收益最大

淺談一下自己的看法，歡迎大家指正。

首先我們假定，參與者只關心自己的利潤，而對其他人的利潤分配情況無差異。其次，如果被分配到的數額小於自己的保留價格，他的收益視作負數（嚴格的說如果某參與者被分配到的數額是 而他的保留價格是 ,則他的收益是 ）。最後，如果談判破裂，所有人的收益是0。

按照題主的意思，我們可以寫出一個三階段的博弈。

第一階段：Nature 給甲乙丙丁分配私人信息（保留價格）。這些保留價格用 ( )來代表，且iid。服從支集為 的分布 ，對應的CDF為 。

第二階段：甲做出分配方案（ ）, 。

第三階段：乙丙丁得知甲的分配方案，根據自己的保留價格 ，決定「接受」或「拒絕」。

容易發現在第三階段如果乙丙丁的決策為「如果則接受， 則拒絕 」。（有人或許有疑問乙丙丁為什麼這麼「誠實」，但根據設定他們無權提出counter offer，所以不按照自己的真實信息來行事沒有額外收益。）

倒退到第二階段我們只剩下求甲的策略。首先我們可以看出甲對乙丙丁沒有額外信息，因此我們可以只討論甲給乙丙丁每個人分配數量相同的情況（i.e.甲的方案集合可以限制在（ ）上,其中 ）。這樣一來問題退化為"對於任意一個甲的保留價格 ,甲如何選擇 "。

注意到如果 ,則甲的收益為 ,否則則收益為 。給定 ,甲選取 來最大化他的期望收益： 。注意到 的增加一方面雖然增加了甲的收益，另一方面增加了決議被否決的概率。

這個問題的 為： 。簡化得到這個問題的解： ,其中 。我們可以發現在均衡中，甲能夠比自己的保留價格多得到一部分（i.e. ），而乙丙丁根據甲提出的方案是否大於自己的保留價格來決定是否接受甲的方案。

注1：嚴謹一點的話，為了使 存在正數解，此處還應對加一些regularity condition。此處就略了。

注2：我個人覺得這裡不太好用機制設計那一套來解，因為signal無成本，不太好寫IC。

這題題設壓根不清楚

我先隨便寫幾個假設，雖然不知道和題主的想法是否一致（讓abcd分別等於甲乙丙丁四個人能接受的最小价值）

假設1：a+b+c+d&<20 ； 顯然如果大於20，則不管怎麼分都有人不答應，如果等於20，則唯一方案就是分給自己能接受的最小額

假設2：一票否決及最後通牒模式， AKA，甲出分配模式，如果乙丙丁都答應則分配成功，有人反對則分配失敗，大家都拿0

假設3：然後就是信息構造（四個人的belief了），為了方便計算設為都服從U[0,1] ，IID，分布本身大家都知道。鑒於只有甲做分配，所以乙丙丁的belief就是Prob{a&<=x：自己的最小額}，而甲的則是Prob{b+c+d&<=y:自己最小額=a}——這個設定和拍賣一樣。於是構造出了四個人的先驗belief

-----------------------------------------------------以上是比較一般的假設-----------------------------------

然後無非就是標準的機制/信息設計了，關注點也不過是IR基礎上的IC

先讓乙丙丁每個人報告自己的最小額度

如果讓分配和報告掛鉤：直接在報告後做出分配==關於報告的函數，就是機制

如果讓甲的後驗belief和報告掛鉤：把報告當信號處理，讓甲通過這些信號更新自己的belief然後做出分配==（（自己的份額=剩餘的部分）（乙丙丁的份額=自己的信念*20）），那就是信息設計了

按題意，最終結果就是均分，不然誰會那麼傻讓別人佔便宜呢？是吧？

這類似行為經濟學裡的一個實驗，最後通牒博弈實驗，兩位志願者ab被告知通過實驗賺取100美元，a有瓜分100美元的權利，b可以否決，一旦否決，兩人都得不到美元。傳統經濟理論假設理性人將財富最大化，a會按99-1分。而且b應該接受，畢竟b拒絕就什麼都不會獲得。所謂納什平衡。但實驗中a如果只分給b少量，則b通常會拒絕。a也會考慮到這點。通常的是a分給b30-40美元，並把大部分留給自己。這種情況b通常會接受。這實驗說明即使對自己不利，但人們依舊關注公正。