hessian矩陣的特徵向量有什麼含義？

01-02

如題，是不是對應著曲面局部的主要方向？

局部主方向是由Weingarten變換決定的，不是Hessian矩陣。

Hessian矩陣是用來判斷曲面在局部的凹凸性。談到特徵向量的，我們首先來討論特徵值。

對於一個二元函數來說，其Hessian矩陣（如果二階偏導存在的話）是二維的實對稱矩陣，它有兩個實特徵值。

如果兩個特徵值都是非負的，即Hessian矩陣半正定，那麼局部凸；如果兩個都非正，那麼凹；如果一正一負，那麼局部類似於馬鞍狀。

那麼這兩個特徵值所對應的特徵方向有什麼意義呢？我的理解是這樣的：我們可以把曲面比作一個山區。在山地，大的那個特徵值所對應的特徵向量其實就是「最陡的」那條上（下）山的路，小的那個就是最平緩的；而在谷地，大的那個特徵值所對應的特徵向量意味著最平緩的那條路，而小的，則意味著「通往地獄最快的那條路」。

個人認為，其實可以從泰勒展開的角度去考慮也許容易一些。

比如一個二元函數f(x)，在x0點展開就是：

$f(x)=1/2(x-x0)^TH(x)(x-x0)+ abla f(x0)^T(x-x0)+f(x0)+o(||x||^2)$

解析幾何告訴我們這個東西的下面形狀和這個東西一樣，位置可能有所平移：

$frac{1}{2} egin{bmatrix} xyz end{bmatrix} egin{pmatrix} H(x)0\ 0 0 end{pmatrix} egin{bmatrix} x\y\z end{bmatrix}=z$

特徵值的正負情況決定了這個上面東西的形狀（橢圓還是馬鞍，開口方向啥的），特徵向量決定了他具體的樣子（比如對於橢圓拋物面，就是長短軸咯）