如何利用變分法求出球面上任意兩點之間短程線方程？

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已知球面上的任意兩點A,B，兩點之間的短程線是球面過這兩點的大圓的一段，我想知道如何利用變分法求出球面上任意兩點的短程線在大圓上

基於對稱性的考慮，不妨取A點坐標為 $left( 0,0 ight)$ ，B點坐標為 $left( heta_{1}, phi_{1} ight)$ ,

$ecause$ 單位球面上的路徑微元是 $ds=sqrt{d heta ^2+sin^2 heta dphi ^2}$ ,

$herefore$ AB兩點間的路徑長度為 $s=int_{0}^{ heta _{1}}d hetasqrt{1+sin^2 heta left(frac{dphi }{d heta } ight)^2} =int_{0}^{ heta _{1}}d heta L( heta ,phi ,frac{dphi }{d heta })$

由變分法可導出Euler-Lagrange方程: $frac{partial L}{partial phi }- frac{d}{d heta }frac{partial L}{partial dot{phi} }=0$

$herefore$ $frac{d}{d heta }frac{sin^2 heta frac{dphi }{d heta }}{sqrt{1+sin^2 heta left(frac{dphi }{d heta } ight)^2}}=0quadRightarrowquad frac{sin^2 heta frac{dphi }{d heta }}{sqrt{1+sin^2 heta left(frac{dphi }{d heta } ight)^2}}=C$

$ecause$ A點坐標 $left( 0,0 ight)$ $Rightarrow$ $C=0$

$herefore$ $frac{dphi }{d heta }=0quadRightarrowquad phi =C_{1}$ , 根據B點坐標 $left( heta_{1},phi _{1} ight)$ , $C_{1}=phi _{1}$

$herefore$ $phi =phi _{1}$ ,即AB兩點之間的短程線是球面過這兩點的大圓的一段。

簡單清晰，非常感謝