非歐幾何中，如何理解曲面中的直線，既然是曲面，何來直線一說呢？

01-02

數學

把你丟到那個曲面上,你就會覺得那條線是直的了.

雙曲幾何亦叫做羅巴切夫斯基幾何，作為非歐幾何的典範，有著極為重要的應用，先看一張埃舍爾板畫

這其實是數學在藝術方面的體現，從另一個方面印證了數學便是一種美學。

關於雙曲幾何在共形表示下的兩點間距離

其公式表示為

關於您的雙曲平面下的直線問題下圖也許能給您直觀的解釋

第一個圖(a是射影)是用平面切球面的投影的到雙曲平面的直線，第二個圖(b是共形)類似於複平面上的球極投影，只不過極點在南極點上。

下面是不滿足畢達哥拉斯定理的雙曲平面上的正方形

以及共形表示和射影表示下的雙曲平面上的正方形格子，每個正方形外接五個正方形。

因此從以上實例看直線在非歐幾何下不再「直」，這是我們自己慣性思維使然的結果，因為從小到大都是歐氏幾何的東西，對其它幾何更是陌生前所未聞的。打破慣性思維束縛，才有助於掌握新的知識。另一方面看，難道我們看到的直線真是直的嗎？或許在宇宙的深處還存在雙曲幾何甚至其它幾何的生物，也許他們看歐氏幾何就正如我們看待非歐幾何一樣怪異吧！

補充……

雙曲幾何中歐幾何的曲面是雙曲平面。

兩點之間直線最短，推廣到曲面的「直線」即為測地線

接樓上，球面幾何又叫黎曼幾何，直線定義與歐氏幾何類似，就是球面上的大圓。過兩點間的最短距離，是球面上過兩點的大圓被截得的劣弧長。

總有人問我為啥越洋航班不飛直線，我一般都跟他講，我也不清楚，或者北極上空海鷗少。

在歐氏幾何中，曲面中有直線也是很正常的。就像你耍一根棍子，棍子運動的軌跡面就會包含直線。

如果曲面方程為r(u,v)=a(u)+v*l(u)，其中l(u)為單位向量，則稱此曲面為直紋面(ruled surface)

這時v曲線為直線，因此直紋面是由一條條直線所織成，這些直線就稱為此直紋面的（直）母線。

柱面和椎面都是直紋面。二次曲面中的單葉雙曲面和雙曲拋物面（馬鞍面）也是直紋面。過柱面和錐面上每一點有一條直直紋面模型直母線，而過單葉雙曲面和雙曲拋物面上每一點有兩條直母線。這就是說，柱面和錐面各由一族直母線組成，而單葉雙曲面和雙曲拋物面各由兩族直母線分別組成。此外，由一條空間曲線的全體切線組成的切線曲面也是直紋面。

舉個複雜點的栗子：

vertices = D1:72 D2:72


u = from (-PI) to (PI) D1

v = from (-5) to (5) D2
ax = sin(u)*cos(u)

ay = sin(u)

az = cos(u)
lx = u

ly = u*u

lz = u*u*u

l = sqrt(lx*lx + ly*ly + lz*lz)

lx = lx/l

ly = ly/l

lz = lz/l

x = ax + v*lx y = ay + v*ly z = az + v*lz

是否存在球面上的平行線？

我認為是存在的。因為球面上的大圓小圓都是球面上的直線，所以，球面上的緯線與緯線是平行線；所以，在球面上，若兩直線平行，且被第三條直線所截，則同位角相等；所以，在球面上，三點決定一條直線；所以，平面幾何中的平行線只是球面幾何中的平行線的特例。

平行的定義：距離處處相等的兩條直線。

在球面上，如果說只有兩點之間最短的才是直線的話，那麼大圓的優弧還是不是直線了呢？大圓的優弧是兩點之間最長的吧？

那些曲面只是用來演示非歐幾何的模型，為了在歐氏空間之內直觀表現一個非歐空間。這就像用平面地圖去描繪地球表面一樣，必定會有變形，所以非歐空間中的直線在模型里看起來就不是直的。但你必須理解這些線實際上代表的就是直線，只不過在歐氏空間中畫不出來，只好用曲線代表。

當然，為了避免受到日常理解的「直」的含義干擾，更恰當的做法是用「測地線」一詞代替「直線」。非歐幾何實際上告訴我們：日常理解的「直」和「彎」只是相對的，根本沒有絕對的「直」和「彎」，在一個使用非歐空間關係理解宇宙的外星文明眼中，我們的歐氏直線才是彎的。

這個視頻可以幫助你更直觀地理解：美麗光影與雙曲幾何

將直線推廣為測地線

首先，你要定義什麼是直線。現實中的直線有很多性質，比如，線性性，距離最短。但你在曲面上沒法同時滿足這兩個性質，只能放棄線性，而保留距離最短，這種直線的推廣稱為測地線。

從物理和哲學層面來看測地線更有意義。假如有一種曲面上的二維生物，你不會知道它生活在曲面上，它會認為自己的二維世界還蠻平坦的，測地線就是它們心目中的直線。在古時候，人類就是這樣的二維生物，只有等麥哲倫環繞了地球，我們真正地從三維角度思考問題。

廣義相對論是另一個思想上的突破，它的基礎是黎曼幾何，基本思想是將引力視為時空彎曲的一種表現。有質量就有彎曲，也就是說在地球附近，我們所在四維時空不是那麼地直。那我們是堅持用歐氏直線，還是用測地線呢？不管你想用哪個，我們實際觀察到的肯定是測地線，只不過兩者差別太小罷了。