如何直觀地理解稠密性？

01-02

如題

這老墳怎麼還有人邀請……

稠密跟連續有一步之差，連續是說數軸上你隨便選個地方一刀切下去，切點上一定有一個實數，這個就叫實數的連續性。對有理數這個就不成立了，一刀下去有可能剛好切空了沒切到有理數；但是如果你用兩刀削下來一個有長度的線段（開區間），不管你刀工多精妙，線段長度再小，只要不為0，其中就一定有至少一個——甚至可以說，有無窮多個有理數。這個就叫做有理數的稠密性。把線段（開區間）換成空心鄰域，最多少一個有理數，那麼剩下的有理數仍然是無限多個，也就是說任意一個點的任意空心鄰域中都仍然有有理數。

稠密性：無孔不入

完備性：密不透風

你如果是南昌人看看南昌的工地你就知道什麼叫稠密了

同時你還能知道什麼叫「道路連通而處處不局部道路連通」

我來個諜戰版的。

解放戰爭，國軍有無數我方地工人員。

如果：

無論國軍的機構有多小，人數有多少，只要是一個機構（比如一個辦公室或者軍隊一個班），就有我黨卧底。

那麼：

我黨卧底在國軍中是稠密的。

一碗粥裡面放滿了香菜，如果你能一勺舀下去（勺的大小，舀的方式隨你便），能夠舀出一勺沒有香菜的粥，就說明香菜在粥裡面不是稠密的；如果你怎麼都做不到這一點，就說明香菜在粥裡面是稠密的。

稠密性的定義絲毫不難理解（如果難，那我建議就拿幾個圓代表集合和空間，在紙上畫畫圖），其他答主也給出了非常多形象的解釋（我認為這些解釋都沒強調我說的這個事實），所以這裡我重點強調一個事實。

稠密性是空間和集合的關係。

當然了，開集閉集聚點閉包也都是空間和集合的關係，所以請好好感受一下下面兩句話的區別。

1。集合中任取一點，這個點的去心鄰域內如果和這個集合相交不為空，那就是稠密集合

2。給定一個空間，空間中有一個集合。空間中任取一點，如果這個點的去心鄰域內和這個集合相交不為空，那就是稠密集合