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正整數的平方和公式是什麼？怎麼證明？

01-02

謝 @韓小淺邀。

那麼就這樣=w=參考資料：《Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking》

$frac n 6(2n+1)(n+1)$

最簡單的證法就是歸納法，但這是假設你知道公式的情況下。

假如你不知道公式是什麼，一個通用的推次方和的方法是利用更高次的差分：假設你要求d次方和的公式，那麼首先展開 $(k+1)^{d+1}-k^{d+1} = f(k)$ , $f(k)$ 是個次數為d的多項式。把等式兩邊同時從k=1加到k=n，那麼左邊是 $(n+1)^{d+1}-1$ ，右邊是一堆次數不超過d的次方和。然後你就可以解出 $sum_{k=1}^nk^d$ 。

具體d = 2的情況就是，

$(k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1$ ，

然後從k=1加到k=n，

左邊加起來得到 $(n+1)^3-1$ ，右邊加起來得到 $3sum_{k=1}^nk^2 + 3sum^n_{k=1}k + n$

我們已知 $sum_{k=1}^nk = frac{n(n+1)}{2}$ ，所以由上面等式可以解出平方和的公式。

還有一個比較簡單（但是算起來麻煩）的方法是待定係數法。猜測平方和是三次方多項式，所以設

$sum_{k=1}^nk^2 = an^3+bn^2+cn+d$

然後把n = 1,2,3,4帶進去列出方程組，可以解出係數。

1/6 n(n+1)(2n+1)

曾經想過一個絕妙的證法

可惜腦袋太小

裝不下

唉

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11.25更新

想起來了，周末更新

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