「數學思想」到底有哪幾大塊？怎麼去自學學到這種思想呢？

01-02

很多學數學的都說重要的是「數學思想」。

（謝邀。本答案裝逼厲害，慎入。）

看了其他回答，方知所謂「思想」，其實是思維方法。

幾位同學提到教學要求中的思想，實乃「做題方法」，無奈一聲嘆息。

沒錯，數學題做千遍萬遍，數學書看千本萬本，只是外家招式，花拳繡腿而已。

數學思維則是內力修為，練成後外功威力大增，四兩撥千斤，甚至無招勝有招。

數學的內家功夫千變萬化，但萬變不離其宗：抽象抽象抽象抽象抽象。

抽象的作用是化實招為虛招，忘記招式細節，吸取招式的精神。

從而在之後舉一反三，融匯貫通，幫助提高外家功夫的整體實力。

一代宗師巴拿赫曰：

A mathematician is a person who can find analogies between theorems;

習數學者見類比於定理之間。

a better mathematician is one who can see analogies between proofs

小成者見類比於證明之間。

and the best mathematician can notice analogies between theories.

大成者見類比於理論之間。

One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.

可想而知，得道高人見類比於類比之間。

內家功夫門派繁多，恕不能一一詳述。盡我所能列幾個大類。

符號——吸星大（敏感詞？？！！）法：

世間萬物皆有名，有形，有意。名為虛，形為實，意為重。化實為虛，首先就是要忘形，取意，進而不糾結於名。比如方程之中，未知數無定形，卻可任意定名，不傷其意，因此仍可參與計算，好似一個實在的數。需要時其形自然顯現。

數學中的一切都經過了符號化。悟到這一層，功夫就不受招式細節的制約，可以把實際問題化為數學問題，把數學問題化為更抽象的數學問題，在體內運功後出手。聯想——斗轉星移：

數學有幾何，代數，分析等幾大門派，各派下又支系繁多。幾何專於形狀，代數專於結構，分析專於變化。融匯貫通，就是要在幾派功夫間轉換自如。比如方程組，屬代數派，但是可以聯想向量變換，是為幾何；又可聯想動態系統，是為分析。

數學中的一切都互相聯繫。悟到這一層，就不用擔心對方是哪門哪派，神擋殺神，佛擋殺佛，學一派功夫就長各派功夫。

變化——太極拳：

數學變化無窮，招無定式，同一招式也是千變萬化。所謂四兩撥千斤，就是不用蠻力，而要順勢而變。比如正面攻不破，可以從背面攻（反證法）；一套拳順著打沒用，可以逆著打（積分順序）；一下不能通吃，就一點點吃（遞推法，歸納法）。

悟到這一層，可見招拆招，靈活使用各種招式。不過這需要聯想能力達到一定的功夫，之後哪怕就是手腕動一下，也可能有用。

形式化——易筋經：

這派功夫有故事：由祖師歐幾里德創始，經千年傳承勢力很大。一代盟主希爾伯特欲以此派一統江湖，誰料半路殺出個哥德爾，基本毀了盟主的統一事業。但形式化目前仍是數學中的上乘內功。

形式化不僅將敵人視作虛無，更將功夫本身視作虛無：天下武學，無非遊戲而已。於是就棄了招式的形，只取招式的意。修行者先是研究各種外家功夫，融為自己的內力。一朝悟道後，可靠著深厚的功底，自定幾條準則，由此隨心創製新的內外功夫修練。比如一代宗師黎曼深得幾何精髓。一朝大徹大悟，對祖師寫下的派規小作改動，幾何一門的功夫瞬間煥然一新，傳為佳話。

悟到這一層，無招勝有招，功夫可謂是爐火純青了。此時功夫都在無形之中，不求制勝於人，只求超凡脫俗。不過也因此，這派的很多功夫對戰（應用）時發揮不出功力，還需其他門派的高人來發現和改進。

修練要領：

不像功夫，數學沒有任督二脈。內功不光靠打坐參禪，還要同時多多練習外功。

一招一式慢慢慢慢地打，打的同時參悟招式的形意，將招式抽象為自己的內力。
多練幾派功夫，與各派對手較量（做題），參悟各派之間的關係，舉一反三。
同一個對手用不同套路多打幾遍，參悟套路的變化無窮，並提高反應速度。

數學思想就是抽象。

第一次發言，請大家多多指教~

我認為通過研究數學發展史上的幾個重大的突破，可以比較好的總結出數學思想方法的精髓。因為一門學科有大的突破，往往是因為在思想方法上有大的突破。所以，在這些節點上，可以清楚的看出數學的思想方法有哪些特點。

第一個大的突破是人類建立起「數」的概念。我們的祖先看到三塊石頭、三棵樹、三隻鹿，然後發現它們似乎有一種共同的屬性，突然有一天，有人頓悟了：他拋開這些事物其他的屬性不管，只考慮數量這個屬性，抽象出了「3」這個概念。然後，慢慢就有了數學。這體現了抽象化思考的威力。可以說，沒有抽象思維就沒有數學。抽象化是數學最重要的方法之一，其關鍵在於：抓住共性，忽略個性。

第二個大的突破是歐幾里得發表《幾何原本》，這本書奠定了公理化方法在數學上的地位。公理化方法粗略的講就是，選一組儘可能精簡的原始概念和公理，用演繹推理的方法，推出儘可能多且有意義的命題，形成一個演繹系統。公理化方法不僅在現代數學中應用中廣泛，而且已經滲透到許多自然科學和社會科學領域。

第三個大的突破是笛卡爾和費馬創立解析幾何。其關鍵想法是引入坐標系的概念，建立起「數對」和「點」的一一對應，從而實現了數和形的相互轉化，這體現了轉化的思想，其關鍵在於：找到並建立一種對應關係。同時，之前需要奇思妙想的幾何證明可以轉化成相對呆板、機械的代數運算來處理，從而降低了思考的難度，這體現了一種機械化（演算法）的思想。機械化的思想本質上也是一種轉化的思想，即：把思考的難度轉化為計算的難度，而複雜、機械的計算正是計算機所擅長的，所以人類可以實現部分的腦力解放。

第四個大的突破是微積分的建立。微積分的核心思想是逼近和極限的思想。如：用直線逼近曲線（微分），用規則圖形面積逼近不規則圖形面積（積分），用簡單函數逼近複雜函數（級數）。當然這種逼近要取一個極限過程，即無限地逼近。微積分是現代數學的基礎，其中體現的思想意義深遠，貫穿始終。逼近和極限的思想體現了一種方法論，那就是當我們面對複雜的、不規則的、未知的問題時，要想辦法用簡單的、規則的、已知的知識去慢慢逼近它，可能這種逼近過程是無窮無盡的，但我們總能越來越接近真相。

微積分之後的數學，還有許多新的思想。但我覺得，數學最核心的思想方法還是前面說的那幾個：抽象化思考，公理化方法，轉化的思想，機械化的思想，逼近和極限的思想。

拋磚引玉。

一直覺得數學家是地球兩足智慧動物中最聰明的傢伙。提到數學思想，我最先想到的是微積分發明的前奏：極限思想，例如用多邊形逼近圓求圓周率http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B2%E5%9C%86%E6%9C%AF_(%E5%88%98%E5%BE%BD)。

一旦我們不知道一個關於無限的問題的答案是什麼，我們就看看有限時的答案是什麼樣的，然後不斷逼近，我們就能找到規律，最終推廣到無限。

高中學到的數學思想。

1，數形結合思想

2，轉化與化歸思想

3，函數與方程思想

4，分類討論思想

我只說說我高考的時候學習數學總結的方法：分門類，廣涉獵，分析揣摩，總結經驗，舉一反三，得出結論。

分門類就是通過已經有一定數學思想的人（我是通過老師），讓他們幫你先畫出具有這種典型思想的題，多做找感覺，這是入門。

然後廣涉獵，自己大範圍尋找一些經典的題，開始的時候對著答案看也行，逐步自己學著做題，題量視人定。這是很基礎但是十分關鍵的一步，可以了解思想在實際中可以怎樣分布，同時也是積累經驗的一步。

之後是分析揣摩，每一題都不可能只有一種思想，而是多元思想混合，所以它們被稱之為難題。這時候需要，把做過的題的詳細步驟劃分，劃分出模塊，能做到明確每一模塊體現哪一種思想就基本可以了。

然後總結經驗，之前是在同一題里明確思想，這時候就可以把許多題里體現同一思想的不同模塊橫向對比，這樣可以更加深入了解思想。

舉一反三就是能做到自己將題目變化，看似類似但是用到不同思想。那就是葛軍級別的了。

最後得出結論。

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補充一下，我遇到的誤區。

有的時候其實不是自己掌握了一種思想或者方法，而是最近的時間用的多，思維慣性往這方面想了，而題目剛好是這樣解。實際自己並沒有掌握。所以溫故知新非常重要。

數學思想真的是內力，修鍊出來一夫當關萬夫莫開。但是就像絕頂高手很少一樣，不是想修鍊就能出結果。

方法不是思想，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模式化與可操作性的特徵。但是可以通過方法摸索思想。比如換元法屬於轉化的思想，解析幾何是函數與方程的思想。

最後，說明一下，這是在應試教育高考的背景下我摸索的方法，雖然我的高考在這個方法下成果非常明顯，但是對於整個數學思想的學習，對於長遠的自身的數學發展是不是真的有利，有多大的用處我不知道。

個人覺得數學思想是在學習數學中總結而來的，沒有直接就能學會數學思想的途徑。推薦兩部書，一部是柯朗的《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》；另一部是克萊因的《古今數學思想》，共4卷，這套書更像是數學思想史，講了很多數學思想的源頭以及與各分支之間的聯繫。

說說高考要求的數學思想。

1，數形結合思想

2，化歸思想

3，方程思想

4，分類討論思想

5，換元思想

在大學課堂中紮實地學了幾本數學書之後，留下的大部分是「計算的技巧」。

但很幸運，我還學到了「數學思想」。

用編程的話來說：

描述世界，解釋世界，創造BUG，解決BUG。

把數學思想恰當、完全分類很難，恐怕無人完成。部分原因是數學分支越來越多，而且越來越細。所以題主那種問題是不可能有一個準確的答案的。如果把問題範圍限制到微積分或數學分析領域，就我所見有三大數學思想最為常見，也最實用，分別是逼近、變換和分解。

為避免泛泛而談而流於哲學，還是用一個具體例子來說明吧，題主自行體會上述三大數學思想在該例子中的運用。

素數定理的解析證明（見附圖）：

唉，估計我這個答案又要被摺疊了。

首先我認為數學思想不是「哪幾大塊」的，而是很多很多，多到不好歸納的地步，反正以我的智商我是歸納不出來。

那個牛人說數學思想就是抽象，太對了！沒錯！但跟沒說一樣，這就跟說儒家思想核心就是個仁一樣，其實哪有那麼容易概況的。

我覺得數學思想還是得在學習中慢慢領會，如果領會不到，那是你天資不足。

在數學系帶過兩年。談到數學思想，一句話總結吧：爐子上的水開了，但想要再燒一壺水。最好不要另起爐灶，而是將壺裡已經開的水倒掉，接著燒。對於一個陌生的問題，善於運用轉化思想。

可以看看克萊因的古今數學思想和20世紀數學經緯，了解了數學史，才不會錯過重要的數學思想。思想是用來體會的，多接觸一些數學問題，多了解一些數學分支，才會有一個整體的認識，才能更好得理解數學思想。

好幾個答案都把』數學思想「和」數學思想方法「弄混淆了

數學思想，即「數學思考什麼樣的問題」，這個一般來說都認同是抽象，即剝離一切現實的干擾，剩下純粹形而上的問題來思考。

數學的思想方法，即「數學用什麼方法解決問題」，這個就多種多樣了，比如代入法就是一種思想方法，消元法，輔助線法，旋轉法，極限法，求導法……多得如天上的星星，就不一一列舉和解釋了。

好久之前看到的一句話，現在還存在備忘錄里。

「高斯算R的4次方問題時是將R的n次方的n等於4。」

我覺得所謂數學思想純粹扯淡，題做出來才能奢談思想，做不出來那就是瞎逼逼，通俗點講就是馬後炮、事後諸葛亮。

真正談得上思想的只有很少，畢達哥拉斯證明意識、歐幾里得的公理化幾何體系、阿基米德的微積分萌芽、笛卡爾的解析幾何、伽羅瓦的群論等等，它們本身就已經融合進數學裡了。相比之下所謂數形結合、化歸轉化等要麼幼稚天真，要麼同語反覆、廢話連篇。

數學思想如果說有的話那就是數學本身，因為數學本身就是一種思想，而且是最嚴格最精確的那一種。可以簡單闡明其意，數學可以看作一系列演算法，那麼數學思想就是關於演算法的演算法，也就是某些二階演算法，如果存在，則對於我們來說，最準確的表述方式還是用數學，所以其也為數學的一部分。但數學是一種創造性活動，不會存在那樣的東西。

而現在通行的所謂思想都可看作化歸思想的不同面孔，也就是聯想、尋找相似關係的能力，這是天賦，需要創造力。

哈，少講一些哲學，諸如概括什麼思想，沒用啊。多腳踏實地，瓜熟蒂落。

當然完全不懂哲學也不行，多看維基就夠了，了解研究對象的來龍去脈。

這個問題讓我一下子步入了海洋啊，呵呵。

我覺得把」數學思想「這種抽象的東西分成哪幾大」塊「，這樣的做法顯然就存在問題。

首先，什麼是數學思想？有人可以給出一個準確的定義么？也許大家都認為 A思想很精闢，B思想很好，C思想很高深.... 嗯，然後在腦子裡告訴自己：A，B都是數學思想，以後別人問我的時候，就這麼回答。或者說，自己記住了這樣的思想，去感受，去運用，所以A,B,C成為了數學思想。

扯遠了。

我覺得所謂數學思想就是：腦力里形成的（巧合的是很多數學好的人都不約而同的互相傾訴，他們在學習數學的時候都有這種感受，因此他們覺得很有必要把腦子裡這種神奇的感受歸納一下）那種對發現問題，解決問題，深化問題，研究問題（這裡的問題可以是實際的問題，也可以是抽象的理論，或者任何有價值的理性的邏輯的等）等最有效的一種潛意識。注意」最有效」三個字。

數學最重要的特徵是抽象。因為抽象，所以能解決的問題更廣泛，使用率更高。這也就是為什麼說數學是基礎學科。同樣，正因為抽象，所以需要跨過一些障礙才能掌握，這也就是為什麼數學比較「難」。

論到「數學思想」，能寫很厚的一本書了，甚至可以上升到哲學層次。鑒於我們並沒有那麼多知識積累，目前只能膚淺地討論一下。

比如你要搬起一塊大石頭，你的力量有限搬不動，於是你去找一些工具來幫你搬。在數學思想里，是同樣的道理。比如函數思想，面對紛繁的運動現象，如何儘可能準確地描述和預測它的路程呢？

路程是一個物理量，如果單單拿出它的數字特性，也就是把路程「抽象」成一個變數。（抽象就是把你需要的那部分特性單單拿出來，其他的忽略掉。很多情況下需要專門學科知識。）那麼我們可以給它一個符號S。（每次想到這裡總覺得自己是個創造萬物的神哈哈哈，能命名和決定它）在以往的數學研究中，已經確定了路程的公式，那麼，我們就可以利用前人栽的樹，乘我們的涼。（定理公理什麼的簡直是精華。幾百幾千年前最聰明的大腦花費一輩子的時間，無數試錯和煎熬，最後凝結成這麼短短几句話。能花費幾分鐘或者幾小時理解認識這些智慧果實，覺得自己真是賺翻了。）

實際問題抽象好了，也有了公式或性質，就可以用純數學的知識解題了。比如此題中的路程公式，S(t)=v(t)*t, 解決這個問題的時候，用的就是函數的概念/性質/解法，這是純數學的問題了，跟實際問題沒有關係了。因為在數學裡早就把關於這種函數的一切都研究過了，所以你只需要把函數當作工具，使用它。它的內涵是如此廣泛，以至於你的任何問題都能找到答案。比起自己坑哧吭哧悶頭想，會不會高效一些？

我覺得喜歡數學的人，其實挺懶的。哈哈哈

數學真的超有用，真心喜歡那些數學物理好的人，跟他們一起幹活很舒服

試著說說中學階段要求的數學思想吧，不知道對你會不會有用。整體來說呢有這些：1歸納猜想2類比遷移3進退互化4整體處理5正難則反。對於函數與方程呢，一般會用到1顯化函數關係2轉換函數關係3構造函數關係4轉換方程形式5構造方程形式6聯想函數與方程；對於計數概率，函數，數列，不等式，解析幾何中的分類討論和數形結合；對於化歸與轉化呢，一般會涉及1變數與變數的轉化2高維與低維的轉化3特殊與一般的轉化4局部與整體的轉化。