正整數a,b滿足ab+1整除a^2+b^2，如何證明(a^2+b^2)/(ab+1)是一個完全平方數？

在numberphile上看到的一道數論題。

正整數 滿足 整除 ，證明 是一個完全平方數。

暴力找出了a& ？

f(1, 1)=1, gcd(1, 1)=1
f(2, 8)=4, gcd(2, 8)=2
f(3, 27)=9, gcd(3, 27)=3
f(4, 64)=16, gcd(4, 64)=4
f(5, 125)=25, gcd(5, 125)=5
f(6, 216)=36, gcd(6, 216)=6
f(7, 343)=49, gcd(7, 343)=7
f(8, 30)=4, gcd(8, 30)=2
f(8, 512)=64, gcd(8, 512)=8
f(9, 729)=81, gcd(9, 729)=9
f(27, 240)=9, gcd(27, 240)=3
f(30, 112)=4, gcd(30, 112)=2
f(112, 418)=4, gcd(112, 418)=2


---

居然邀請小萌霜心回答這種問題，小萌霜心表示好吧呀的喵～(?? . ??)

題目是2⑨屆imo的最後一道題，傳說中交給陶哲軒這種大數學家也要做好久的說～(●—●)

這道題其實算是競賽圈子的一道人盡皆知的題目啦～學過一點數學競賽都可以喵殺～(? ??_??)?

具體做法是我萌令這個商數為t～然後展開關於較小的那個a的二次方程～然後用韋達定理找到另一個根～這個新的根比原來那個小～觸發了無窮遞降法～然後我萌就解決啦～?ω?

至於後面那個結論～其實我萌用韋達定理找另一組解的過程～是等價於輾轉相除法的過程的～於是最後一組數就是ab相等的時候～這個時候就是最大公約數啦～(? ???ω??? ?)

經提醒～這個題是2⑨屆的imo題～不是31屆的～

小萌霜心桑心了～???

---

這個題目有一個更一般的形式：

如果自然數a,b,n使得

為整數，則x為某個自然數的n次冪。

---

無窮遞降法，貌似這是當年陶哲軒沒有做出來的題哦。

以下是常庚哲史濟懷版《數學分析教程》的問題1.1.

---

imo29 特別的可以證明是gcd(a,b)^2

---

韋達跳躍...

一年前聽了這個方法後還自己整理了好多題目...

退役菜雞數競黨表示滿滿的回憶...(? ω ?｀)

---

設這個數為k，乘過來，然後把a當成主元，利用二次方程韋達定理，得到另一組解，兩組根比較大小，於是利用無窮遞降法得到無窮小的根，這與正整數a，b矛盾，最後判別式只能為0,由此知k為完全平方。

---

Vieta jumping ...

---

推薦閱讀：