幾何分析是不是一個被普遍公認的獨立的學科，如果是，為何AMS的學科分類裡面裡面找不到幾何分析？

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本人是一個幾何分析的門外漢，從來沒學過幾何分析，我在現實生活中認識的搞微分幾何的朋友也沒有那個自稱是研究幾何分析的。我之前在知乎提了一個問題：
丘成桐是幾何分析的奠基人么？ - Yuhang Liu 的回答
但我看了那裡的回答，發現一個非常大的問題，就是我現在連什麼東西算幾何分析都搞不清楚了。我查了一下google學術上引用率最高的三本書名帶幾何分析的書。引用最高的Helgason的Groups and geometric analysis（引用2234次），扯了一堆什麼積分幾何、Radon變換、李群、特殊函數，就是沒看出和丘教授的那些東西有啥關係。引用率第二高的Jost的Riemannian geometry and geometric analysis（引用1491次），倒是和丘教授有幾毛錢的關係，但是沒看見有提到某匿名大神講的什麼梯度估計、熱核估計。引用率第三高的Helgason的Geometric analysis on symmetric spaces（引用529次），也是扯了一大堆積分幾何、Radon變換，就是沒看出和丘教授的工作有啥關係。至於某匿名大神稱讚的「經典著作」：Peter Li的幾何分析及其前身，引用次數加起來不過155次。好像引用次數不算很高。
我又搜索了一下各個學校名稱是「幾何分析」的課程，發現有些課倒是和丘教授的工作蠻有關係，有些課根本就是黎曼幾何一類的課，還有一些課好像和丘教授什麼梯度估計之類沒有半毛錢的關係，或者只有微弱的關係。
比如博洛尼亞大學的幾何分析：http://www.unibo.it/en/teaching/professional-master/2015-2016#!

又比如Cincinnati的幾何分析：Geometric Analysis: Gromov Hyperbolicity
例如馬里蘭大學的幾何分析：http://www.math.umd.edu/~yanir/742.html
例如Brandeis大學的幾何分析：https://brandeis.schdl.net/course/Fall_2016/MATH_140A
例如Donaldson在倫敦的開的幾何分析：http://wwwf.imperial.ac.uk/~skdona/GEOMETRICANALYSIS.PDF
我又在數學工作者常用的Mathematical Reviews上面檢索了丘教授的論文，發現丘教授的論文的分類十分神奇，比如丘教授解決Calabi猜想的兩篇論文，被劃入的學科是：53C55、14M20、32C10、35J60，在比如丘教授解決正質量猜想的論文，被劃入的學科是：83C 、53C20、58E20。
根據鄭紹遠教授的說法，丘教授1972年的論文開創了幾何分析，丘教授1972年的論文，被劃入的學科是：53C20
而Peter Li的那本幾何分析，被劃入的學科是：58、35P15、53C21、58J32、58J35。
而丘教授的微分幾何講義，被劃入的學科是：53、53C21、58G30。
但以上那個學科好像都和所謂幾何分析對不上。再看當代一些被華人數學界認為是做幾何分析的活躍數學家,Simon Brendle，引用最高的論文，分類是：53C20、53C44，Fernando Codá Marques，引用次數最高的論文，分類是：53C21。可能有人會說53C21 Methods of Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions就是幾何分析，但是Athanase Papadopoulos的Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature，也被劃入這類，但是這書完全是Gromov那套東西，和丘派的幾何分析，一點關係都沒有。還有Zindine Djadli的Opérateurs géométriques, invariants conformes et variétés asymptotiquement hyperboliques，看起來也是類似情況。
事實上，在MSC2010分類系統中，就找不到名為幾何分析的學科，也沒發現那一條對得上。

是不是分類太粗糙呢？好像也不是，比如Gromov和Perelman、Cheeger建立的度量幾何就有對得上的：53C23。我們也能找到和丘教授同年拿Fields獎的Alain Connes的非交換幾何：58B34，還能找到Hamilton的東西：53C4，還能找到幾何Langlands綱領：22E57。還能找到比丘教授小不少的Floer的Floer同調：57R58。可就是找不到所謂幾何分析。那麼請問，幾何分析究竟是不是一個被普遍公認獨立的學科，如果是，為何AMS的學科分類裡面裡面找不到幾何分析？這個學科的範圍又是什麼？

為什麼上述回答全是匿名呢？我認為，既然要回答，那就應該堂堂正正，亮明身份，為什麼潛身縮首呢？

我認為，幾何分析是一種研究問題的方式，而不是一個學科。

丘先生在幾何分析上的工作大致可以分為兩塊。在real manifold上面，他的主要貢獻是和Peter Li發展了梯度估計，這個方法發展到極致就是Li-Yau的heat kernel estimate。它在Ricci flow上有個類比被Hamilton證明了，對Poincare猜想的證明有一定作用。當然還有real Monge-Ampere equation，極小曲面等等重要工作，我只說一個脈絡。

在complex manifold上就是Calabi猜想，這個猜想在弦論上有用，故而物理學家極為重視。當然，它有一些復幾何上的implication，比如Chern number inequality，但是總體來講復幾何很大，這些implication你要說重要也重要，但是不是每個人都care。Calabi猜想的證明還導致了mirror symmetry這個領域。不過，從現在的發展來看，恐怕只有Kontsevich提出的homological mirror symmetry可以真正make sense並且推動數學的發展。當然，還有一個重要工作是Donaldson-Uhlenbeck-Yau。這個定理最早由Donaldson在algebraic surface上證明，後來又推廣到algebraic manifold上。U-Y對compact Kahler manifold推廣了Donaldson的結果。不過，Donaldson在algebraic manifold上的證明也簡單很多，且人們主要用到的就是這個情形，一般的Kahler流形恐怕沒有那麼常用。當然，還有一些工作，比如open manifold上面的Kahler-Einstein metric，和Siu，Mok一起研究Poincare-Lelong equation從而對open Kahler manifold做uniformization等等。我只考慮主體脈絡。

這樣看來，要想把這些比較零散的工作梳理出脈絡，從而變成一個學科並非易事。我們可以對比Gromov的工作。Gromov的holomorphic curve theory最早發展出Gromov-Witten invariant和quantum cohomology，被Floer推廣到open string case又發展出Floer cohomology。受Sullivan等人的影響，Fukaya在chain level提出了A infinity structure。受Deligne猜想的啟發，近年來辛幾何學家開始關心Hochschild cohomology上的E2 algebra結構···可以說這些結構不斷豐富，起點就是Gromov 1985年的文章，這些學問都可以清楚地融匯在一起，層次分明，這才是名符其實的開創學科。這些不變數還僅僅是辛幾何的rigidity aspect。

辛幾何的flexibility aspect也是由Gromov開創的，為此他發明了h-principal。現在做flexiblity aspect最好的數學家，Eliashberg，就是Gromov的師弟。

flexibility+rigidity就是辛幾何的全部。或者具體地說，辛幾何相當於代數拓撲+代數幾何。因此，無論從哪個角度看，Gromov都更有資格被稱為辛幾何的奠基人。可是，數十年來，似乎沒有任何人這樣稱呼Gromov，是不是有點不公平呢？

我想，幾何分析之所以比較瑣碎零散，辛幾何之所以比較有條不紊，主要根源還在於Gromov和丘教授研究風格的區別。或者說，是西方數學家和中國數學家對於數學的態度和審美的區別。有時候，formulate theory並不能獲得同行立竿見影的重視，而解決困難的問題無論在什麼時候都是證明自己最直接的手段。

幾何分析究竟是不是一個學科恐怕並不是問題的關鍵，關鍵是在中國人裡面能不能出現一些像Gromov這樣真正純粹，執著於真理而不是名利的數學家。

在兩個問題下圍觀幾天了，幾乎每個評論都看過，因為微弱利益相關，之前一直沒答。各位不要吵架，題主提問措辭有點彆扭，大家也最好就題論題，盡量別互相人身攻擊或質疑動機。

幾何分析，顧名思義就是分析方法在幾何中的應用，是非常非常非常寬泛的指代，有人說用非線性PDE就算幾何分析，可我也見過Gromov用凸積分的也被算做幾何分析。

所以「幾何分析」更多的是一種方法，不像「辛幾何」或「黎曼幾何」或「非交換幾何」是明確的對象。故按照題主的標準，這個東西沒有，也沒法被劃分為一個學科。

第二個問題，丘成桐能不能稱為xxx之父？這是不合適的，xxx之父的說法一般是中國人隨便叫的，同為華人，稱呼里隱隱想抬高點也很正常。君不見法國數學家Aubin只解決Calabi猜想中參數小於0這個既不是最困難也不是最重要的部分，一些法國數學家就想把Calabi猜想的最終結果稱為Aubin－Calabi－Yau定理，當然了，並沒有被廣泛承認。這些行為都可以理解。

第三個問題，幾何分析不是一個學科只是一種技術，那有人可稱為幾何分析奠基人之一嗎？可以。

不止是學科可以奠基，幾何分析作為一種方法或者一種解決問題的風格，也可以有奠基人。只用翻翻沃爾夫獎得主的前幾屆，其中的數學家Leray，表彰的是他在「拓撲方法應用於微分方程的貢獻」。眾所周知是著名的Leray－Schauder理論了，所以如果把Leray稱為拓撲方法應用的奠基人之一有問題嗎？

樓上有位答主的說法不合適，題主也跟著鑽牛角尖，倆人針鋒相對，說的很多都很荒謬。一個要把幾何分析歸功給阿基米德，一個要讓對方給出現代的分析學精確定義。現在說的幾何分析跟阿基米德有什麼關係，現代的分析學又怎麼會有精確的劃分，都在抬杠呀！

「拓撲方法研究方程」不是獨立學科，是一種方法或風格。即使最早的思想和成果始於Hilbert、Brouwer、Banach等。degree思想的確立都是1900年左右的事了，Brouwer1910成功運用了degree思想做出了他的不動點定理，Leray那時候才4歲，Leray－Schauder不動點定理1934年才引入。

像題主所說，Leray也不是拓撲方法應用的奠基人之一，只是用Brouwer、Banach的思想做了個題？或者像某位答主說的，這些拓撲方法的應用都要歸功到歐拉那裡？

討論就不要抬杠，完全打嘴巴官司沒意思，請有點共識。

那麼再回到前面，幾何分析這種風格或者方法，丘教授是不是奠基人之一？當然是的，兩點，第一是在這方面出成果時間早。Bochner、Carson、Schwartz、Sobolev等人引入弱解，現代pde中求解弱解再導出經典解變成了通用方法，這些思想進入pde的各個分支改變其面貌，有很多代表人物，如Nash（熱方程）、Nirenberg（橢圓方程理論）、Morrey（變分法）等等，這些人也都為幾何分析做了貢獻，眾所周知這些理論是在五六十年代慢慢豐滿成熟的，丘的工作在七八十年代完全是承接了這波方程的發展，理所應當是最早的結果之一。因為有時間差就把他開除出奠基人行列，根本是說不通的。第二是工作重要且影響深遠，這沒什麼可說的，菲爾茲沃爾夫雙獎，地球人也沒多少，強行說不重要那我也只能苦笑，期盼自己以後也有這樣的運氣，工作不行也能雙獎加身。

醉翁之意不在酒，題主不用多廢話，搞了幾個問題，無非是覺得，丘的工作，既然那麼多幾何分析相關書本和課程里都沒有，那想必可有可無。

但很可惜，你提的這些書籍和課程，基本屬於基礎黎曼幾何的延續，有的名為幾何分析，實際上是黎曼幾何再加點基礎的流形上分析學，不講丘的東西太正常了。

題目描述里提的書怕是題主都沒讀過，只看了目錄吧。希望你作為一個研究員看書認真點，這治學態度可不好。

你說的和丘的工作只有微弱關係的Jost《Riemannian Geometry and Geometirc Analysis》，前言里有段話，幫你搬運一下：The development of the mathematical subject of Geometric Analysis,namely the investigation of analytical queations arising from a geometric context and in turn the application of analytical techniques to geometric problems,is to a large extent due to the work and the influence of Shing－Tung Yau.This book，likes its previous edition,is dedicated to him.

Jost是萊比錫馬普所所長，知乎上對幾何分析的了解勝過他的人怕是沒有吧，丘要是對幾何分析沒什麼里程碑意義的巨大貢獻，他吃飽了撐的把這種話寫在一本名字裡帶有「幾何分析」的書中？當然了，也可能Jost是個丘粉，像Jost這種說丘學問好的人，都是丘的走狗而已。

至於Helgason的書，幹嘛不把書的全名寫出來呢，它全名是《Groups and geometric analysis: integral geometry, invariant differential operators and spherical functions》看明白沒？這就是個專題講座，講的就是幾何分析里跟群論關係密切的部分，不講丘的東西不正常嗎？我要是找本名為《代數：有限群及其應用》，裡面沒講Galois理論這能說明在代數里Galois理論不重要？

還有說丘的工作影響力不怎麼樣的……看看Wolf獎怎麼說：「for his work in geometric analysis that has had a profound and dramatic impact on many areas of geometry and physics.」看來Wolf獎的評委們也是丘的走狗，不然怎麼會頒獎給他這種水貨，明明丘的工作題主看的書里都不教，怎麼還吹捧他的工作的影響為「profound」和「dramatic」呢？Wolf基金會真應該頒獎給你們比較好。

嚴格地說，幾何分析不能算一個獨立的學科，至少沒到進分類的層次。但是，日常交流中談的幾何分析是用pde解幾何，丘自然是其中的佼佼者，但是也有很多其他人在做這個。

數學家的credit是靠工作堆出來，刻意地炒作和貶低在我看來都很low，在我看來，zhihu上真的有能力評價丘水平的人是沒有的。起碼你也拿一個菲爾茲獎，並且也是做pde或者幾何的，這樣你自然有資格和水平評價了。外行跳得再高也是口水戰，口水戰在政治領域也許有用，在數學領域是沒有意義的。該用誰的方法就用誰的方法，寫intro的該提誰就該提誰，否則就是學術不規範。

這位題主好有意思。研究知識，探索未知關心知識學術本身即可，何必關心是誰做得呢？你是搞數理研究還是搞幫派呢？真得不敢想像，對於知識和真理的探索居然要和研究者本人掛起勾來。難道勞改釋放犯就不能做公義之是嗎？基本的道理和價值觀都有問題呢。謙虛一些吧。

幾何分析是微分幾何的一個方向，也就是非線性微分方程的工具去解決幾何問題。題主如果想學這個方向的話，應該讀Yau和Schoen的微分幾何講義。

丘教授多年來一直在國內宣稱自己是「幾何分析」的「創始人」。丘在其「微分幾何講義」中文版序言中大言不慚地寫道：「......宛然成一流派，稱為幾何分析」。流傳甚廣。很多人受這句話誤導。然而該書的英文本中就沒有類似表述。看來丘教授也只是敢忽悠中國人。實際上，國外也有「幾何分析」的說法，但含義要比丘教授所謂的「幾何分析」寬泛得多，題主已經說明得很清楚了。丘成桐偷換概念，以偏概全。