正則和全純有什麼區別？

01-01

如題。
同學問我holomorphic在中文書中什麼意思。
我仔細思考了一下，

回答他在複分析裡面應該叫全純，
在幾何里應該叫正則。
但是後來回看了一下微分幾何的教材，

在引入拉普拉斯運算元的復形式之後，
教材的叫法又全部變成了全純。
這是為什麼呢？是因為從幾何變成分析了么XD

正則（regular）是代數幾何的概念，差不多可以理解為多項式。全純(holomorphic)應該對應到解析（analytic）,屬於複分析／復幾何里的概念。

正則在微分幾何里相當於光滑，也就是沒有奇點。正常規則的嘛，沒有奇怪的點。

全純在複分析里就是解析，拉丁文翻譯過來的，本指整的意思，似乎是類似於整數，而亞純就是類似於分數。

在複分析裡面holomorphic意思是解析，這個概念是有區域限制的。全純函數應該是entire意思是在整個平面上holomorphic。

嚴格意義上講，解析(analytic)和全純(holomorphic)是兩個不同的概念。限制到複平面上，這兩個定義是等價的。一個復值函數(complex-valued function) $f$ 是解析的，如果 $f$ 在其定義域上的每一個點都是復可微的；而 $f$ 是全純的，如果 $f$ 在其定義域的每一個點的級數展開的收斂半徑大於等於這個點到定義域邊界的長度。定義域當然可大可小，如果定義域為整個複平面，那麼這個函數就叫整函數(entire function)。

正則就是好的東西，正則曲面就是每個點連續可微，總之正則就是好的。