如何從邏輯的角度駁倒 Achilles 追龜問題?

01-01

轉載吳國盛：你以為你真的被解決芝諾悖論了嗎？
作者：吳國盛中國社會科學院哲學研究所
原載：《自然科學與哲學》
愛利亞的芝諾為了捍衛老師巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說，提出了著名的運動悖論和多悖論，以表明運動和多是不可能的。儘管他的結論在常人看來很荒謬，但他居然給出了乍看起來頗令人信服的論證，故人們常常稱這些論證構成了悖論或佯謬。不過，若細細推敲，其結論未必荒謬，其論證未必不令人信服，故中性地稱這些論證為芝諾論辯(Argument)最為合適。

芝諾的運動論辯全部得自亞里士多德在《物理學》中的轉述，有四個：
1。二分法。物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，這個要求可以無限進行下去，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點;或者，它根本起動不了。
2。阿喀琉斯(又譯阿基里斯)。快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須跑到被追者的出發點，而當它到達被追者的出發點，又有新的出發點在等著它，有無限個這樣的出發點。
3。飛矢不動。任何東西佔據一個與自身相等的處所時是靜止的，飛著的箭在任何一個瞬間總是佔據與自身相等的處所，所以也是靜止的。
4。運動場。兩列物體B、C相對於一列靜止物體A相向運動，B越過A的數目是越過C的一半，所以一半時間等於一倍時間。
四個論辯可分成兩組，前兩個假定時空是連續的，後兩個假定時空是分立的，每組的第一個論證絕對運動不可能，第二個論證相對運動不可能。
關於多的論辯得自辛普里丘的《(物理學)注釋》，大意是：如果事物是多，那麼大會大到無限大，小會小到零，因為任何數量都可以無限分割，若分割的結果等於零，則總和是零，若分割結果不是零，則無限總和是無限大。
以上轉述從哲學史角度看都過於粗疏，不過對於討論其哲學含義則差不多夠了。
19、20世紀之交的絕對唯心主義者象布拉德雷全盤接受芝諾的論證和結論，他視運動、時間空間為幻象，芝諾論辯正好符合他的主張，當然全盤接受，在《現象與實在》中他寫道：「時間與空間一樣，已被最明顯不過地證明為不是實在，而是一個矛盾的假象。」除布拉德雷之外，哲學史上大部分哲學家認為芝諾的結論是荒謬的，其論證有問題。不過，在不斷檢查其論證毛病的過程中。人們反倒發現了芝諾論辯的深刻之處。常常是人們自以為解決了芝諾悖論，不多久就又發現其實並沒有解決。
已知最早的批評來自亞里士多德。關於二分法，他說，雖然不可能在有限的時間越過無限的點，但若把時間在結構上看成與空間完全一樣，也可以無限分割，那麼在無限的時間點中越過無限的空間點是可能的;關於阿喀琉斯，他說，如慢者永遠領先當然無法追上，但若允許越過一個距離，那就可以追上了;關於飛矢不動，他說，這個論證的前提是時間的不連續性，若不承認這個前提，其結論也就不再成立了;關於運動場，他說，相對於運動物體與相對於靜止物體的速度當然是不一樣的，越過同樣距離所花的時間也不一樣。亞氏批評的意義主要在於使芝諾論辯更為明了，前面對諸論辯的轉述就顯然參照了亞里士多德的這些批評。

黑格爾對芝諾悖論的解決是：「運動的意思是說：在這個地點又不在這個地點;這就是空間和時間的連續性，並且這才是使得運動可能的條件。」(《哲學史講演錄》中譯本第1卷第289頁)這個解決方法要點在於強調時間空間的連續性，而且對連續性賦予新的、特有的解釋。不過，它似乎並沒有直接針對芝諾論辯本身來提出批評，而且關於連續性的獨特解釋與數學和邏輯所要求的精確性不相容。受黑格爾影響，我國哲學界一般認為芝諾不懂得連續性和間斷性的辯證關係，把這兩者機械地對立起來，所以造成運動悖論。這大意是說，芝諾的論證沒使用辯證邏輯，因而是無效的。這種批評同樣是籠而統之，不關痛癢。
19世紀以來，從數學的、邏輯的角度提出的解決方案較多，我統稱為分析的方法。
1. 無窮級數的求和
在芝諾的運動悖論和多悖論中都涉及到無限分割後的求和問題，微積分的發展使得對此進行定量分析成為可能。對於多悖論而言，可以肯定地說，無窮分割後的各部分趨於零但不等於零，其總和不等於零，但也不會是一個無限量。
對於阿喀琉斯而言，他雖然要無數次地到達某個起始點，但它所走的空間距離並不是一個無限量，追龜情形下的空間距離是：一個有限數，對於有限的距離，當然可以在有限的時間內穿過並達到終點。
2. 無限機器問題
許多人在算出了無窮級數之和是一個有限數之後，就以為解決了芝諾的阿喀琉斯悖論，他們很顯然是認為悖論之悖在於把經歷無限之點與經歷無限之距離混為一談，只要澄清了這一點，悖論就自然消除了。然而，算出了距離是有限的並未解決問題。
讓我們來考察一下我們是怎麼算出來的。無窮級數的求和最終要用求極限的方法，讓無窮級數的和充分接近這個極限值，注意，僅僅是「接近」。此外在初等數學中我們還有一個更為簡便的方法求出追烏龜的時間，那就是假定它是t，可以列出方程：
V2*t+d=V1*t
解方程可得t=d/(V1-V2)。在這個方法中，有一個前提，那就是假定阿喀琉斯最終追上了烏龜。這個假定告訴我們，數學所告訴我們的不過是，如果能的話，需要多少時間，但數學不解決「是否能」的問題。

因此，還需要回到「在有限時間裡越過無限的點」問題上來，如果把越過一個點看成完成了一個動作，此問題就推而廣之變成了一個無限操作問題，有人將之命名為「無限機器」(infinite machine)，也有人將之稱作「超級任務」(super task)。許多人已經證明了，超級任務是不可能完成的，無限機器不存在。的確，由於一個無窮序列沒有最後一項，所以讓阿喀琉斯穿過所有芝諾給出的(無限個)點到達終點是不可能的。
與此類似，無限機器問題的不可解，也強化了二分法的有效性。對芝諾論辯的邏輯分析反加強了其論辯的力量。
3. 飛矢與速度問題
如果我們假定，運動物體在每瞬間都處在一個空間位置(這一點表面看來很顯然，但不必然真)，那麼，判定它在這一瞬間是運動還是靜止，唯一的辦法是看它有沒有速度，孤立的考察這一點無法得知它是否有速度，必須考慮一個區間，速度公式是：
v=ds/dt
其中ds是軌跡矢量的微分。這裡要求軌跡起碼是連續的，但芝諾在這裡很顯然假定了相反的條件，即軌跡是不連續的，不連續的軌跡無法求微分，無法判定其速度。
不過，即使軌跡是連續的，求出了速度，也還是沒有解決運動本身的問題，因為得出了速度的大小，只意味著如果有運動，數學可以告訴我們速度是多大，數學同樣不告訴我們是否有運動。總的來講，如果說運動物體在每一瞬間都處在一個位置，那麼這一瞬間，我們的確無法知道它是否是運動的，特別是當時間和空間不連續時。
4. 運動場與時空的不連續結構
芝諾關於運動場的論辯從文本方面尚未完全搞清，亞里士多德的轉述讓人覺得該論辯過於沒有深度，難道芝諾連相對於靜止物體的運動與相對於運動物體的運動是不一樣的這點都不懂嗎?比較合乎情理的解釋是，芝諾想通過三列物體在分立的時空結構中的運動揭示運動是不可能的，要害在時空的分立結構上。假定在時刻1時，三列物體排列如下：
aaaa

bbbb
cccc
其中每個物體佔據一個空間單元。過一個時間單元後是時刻2，再後是時刻3，等等，時刻2的排列是：
aaaa
bbbb
cccc
時刻3的排列是：
aaaa
bbbb
cccc

芝諾的意思是說，在時刻3時，僅僅過了兩個時間單元，b與c兩列物體之間卻有了四個空間單元的位移，在時刻2時，僅僅過了一個時間單元，b與c卻有了兩個空間單元的位移，那對應於一個空間單元的位移的時刻是什麼呢，也就是在什麼時刻出現下列排列呢?
對這個問題無法回答，所以在時空的分立結構中談論運動必然要出現一個時間單元等於兩個時間單元的問題，也就是芝諾所說的「一倍的時間等於一半的時間」。這當然是荒謬的。
到現在為止，從數學工具只是進一步表述了芝諾所提出的困難。
下面我們來看看對「分析」方法的超越。希臘時代犬儒學派的創始人第奧根尼對芝諾論辯有一個回答，據說當他的學生向他請教如何反駁芝諾時，他一言不發，在房間里走來走去，學生還是不理解，他說，芝諾說運動不存在，我這不是正在證明他是錯的嗎?這個故事很長時間被作為一個笑話，人們大多相信，第奧根尼根本沒有弄懂芝諾的意思，芝諾並不是說在現象界沒運動這麼一回事，他當然承認有，但他要說的是，雖然滿目是物體在飛舞，但運動是不合理的，我們可以通過邏輯證明運動是不可能的。因此，我們所看到的運動是假象，並不真實，因為真實的東西一定是合乎邏輯的。
真的可以用邏輯證明運動的不可能性嗎?
柏格森說得對，芝諾論辯的全部要害在於用運動軌跡代替運動本身。許多現代分析哲學家進一步指出，芝諾用數學化的運動軌跡代替物理的運動軌跡，就將真實的物理運動導入關於無限的數學迷途之中。
在芝諾論辯中，時間與空間的點結構起了很大的作用，雖然在二分法與阿喀琉斯中時空是密集的點結構，而在飛矢和運動場中時空是分立的點結構。先看密集的點結構所帶來的問題。
把時間空間看成連續的，也就是把它看成一個實數連續統，用實數連續統描述時間出現兩個問題：第一，任一時刻不存在一個緊隨其後以及它所緊隨的之前的時刻;第二，任意兩時刻之間有無窮多個時刻。這兩個特徵都與我們的時間經驗發生了抵觸，若時間真是一個連續統，那之前和之後關係在時間的結構中就找不到依據了，而之前之後關係恰恰是我們時間經驗中最重要的因素。把空間當成一個實數連續統也同樣存在這個問題。而且，在物理世界中，從沒有一個時刻是沒有延續性的，從沒有一個物體是沒有廣延的。數學結構顯見要與物理結構區分開來。
時空的分立點結構所導致的問題也許是更為深刻的。由於分立結構必然導致一切運動速度均相同的荒謬結論，我們有必要重新審視時空的結構本身。如果時空具有內稟結構，那從邏輯上講，就完全可能取分立的形式。所謂內稟結構是指與物體運動無關的結構，牛頓的絕對時空就具有內稟結構。「運動場」問題根源於時空有內稟結構這一前提，而這一前提是錯誤的。現代物理學加強了這樣一個觀念：時間與空間是事件之間的關係，而不是獨立的實體;集合論表明，在假定空間連續的情況下，任何一個線段都具有完全相同的結構，因此長度這個最基本的空間量不是內稟的，而是約定的。
時空的數學點結構所帶來的問題也許可以解決，但即使這些問題都解決了，運動的可能性問題是否就隨之解決了呢?不然。二分法有兩種形式，一種是說，它永遠到不了終點，另一種是說，它根本不能起動，第一種形式的無窮序列沒有最後一項，所以到不了終點，第二種形式的無窮序列沒有第一項，所以根本無法起動。第二種形式最具有啟發性，因為若無窮問題得到了很好的解決，第一種形式的困難就可以消除了，但第二種形式的困難還剩下一點：第一推動。如它能有一個初始起動，它可以起動;如它沒有一個初始起動，它就不能起動。這是一個同語反覆，表明數學分析並不能證明運動是可能的。回想一下柏格森所提出的問題：對運動軌跡的任何分析都是對運動本身的完全分析，因此在此基礎之上既不可能證明運動是不可能的，也不可能證明運動是可能的。「運動」在「證明」之外。

一旦把運動事件看作第一位的，而把時間空間看成對運動事件的抽象，那麼飛矢問題就不難解決。飛矢作為一個物理事件在分析時應作為最基本的要素，而不是作為一個被導出的東西，相反，時空的結構應從象飛矢這樣的物理事件中導出。飛矢問題完全是由於分析次序的顛倒所造成的。
物理點並不是數學點，阿喀琉斯實際上只用了有限步驟就追上了烏龜，拋棄了芝諾所設置的點結構，阿喀琉斯問題也不再成為問題了。
總結一下由芝諾悖論所引出的哲學結論：運動本身是第一位的，而運動軌跡是第二位的，物理經驗是第一位的，而數學描述是第二位的，物理事件是第一位的，而時空結構是第二位的。對運動軌跡的分析引出了數學和邏輯上的許多問題，即使這些問題最終能夠解決(現在當然還不能說已經解決)，也不意味著最終解決了運動問題本身。運動更為基本而且不可分析，它超出了理論理性。芝諾沒能證明運動的不可能性，因為運動根本不可證。(第奧根尼的回答並不可笑，相反很深刻)若說只有可證的才是真實的，那運動的確是「不真實」的。芝諾悖論最終的哲學意義涉及到愛利亞學派對「實在」的看法。

這個本質上就是無窮級數問題，簡單地講就是把有限的時間和位移長度分割成了無窮多段.
單純從數學角度考慮（而不去考慮現實世界的時空是否是是否無限可分，是否滿足連續公理；實際上現實世界的空間當然不等同於R^3，也不滿足連續公理.）
假設處在R^3空間中，更進一步，需要研討的問題則是實直線R上的兩個質點的問題，而此時時間t構成的時間軸自然也同構於實直線，這裡我們當然假設運動的路徑和時間都滿足連續公理.
需要討論的問題：一是能不能作這樣的分割，由之前的假設當然認為可以；
第二個則是逐段時間/位移能不能疊加，這個無窮和是否具有意義；若可以，加起來是否收斂於定值，這是分析學裡級數要討論的問題.
在小學數學中我們就應當學過，這是個典型的追及問題，而Achilles追上烏龜所需的時間是：

T＝100/(10－1)＝100/9（s）
烏龜的位移長度為：L＝1*100/9＝100/9（m）
Achilles的位移長度為：S＝10*100/9＝1000/9（m）
顯然二者位移長度差即為100m
當然，小學數學裡的這段能幫你計算Achilles追上烏龜所需的時間，卻知其然而不知其所以然，無法說明Achilles為什麼能追上烏龜
這個問題里，兩質點在實軸上的追及問題被分割成了無限段，因此這個問題擁有無限多步過程
但由於執行第n步過程的時間tn隨著n增加逐漸變短，當n→∞時，tn→0
又因為級數∑tn收斂，從而執行完這一無限多步過程的追及問題的總時間T有限
從級數的角度來看，這實際上是計算無窮級數∑tn的和
其中t1＝10,t2＝1,t3＝1/10,…,tn＝10^(2-n)（單位：s）

tn即為Achilles與烏龜跑/爬過第n段距離所消耗的時間
很顯然這個無窮等比級數求和的問題，很明顯該級數收斂，從而總時間T＝∑tn是有限的，恰恰等於100/9（單位：s）
類似的，Achilles移動距離S也是一個公比為10^(-1)的等比級數
s1＝100,t2＝10,t3＝1,…,tn＝10^(3-n)（單位：m）
其無窮和為1000/9（單位：m）
實際上在這個問題里，只是人為的把一段有限的時間（以及空間）分割成了無限段
譬如時間段的區間[0,100/9]被割成了無窮區間列：
[0,10],[10,11],[11,11.1],…,[(10^(n-1)－1)/(9*10^(n-3)),(10^n－1)/(9*10^(n-2))],
[(10^n－1)/(9*10^(n-2)),(10^(n+1)－1)/(9*10^(n-1))],…
空間上Achilles移動距離的區間[0,1000/9]與之類似，被割裂成了無窮區間列：

[0,100],[100,110],[110,111],…,[(10^(n-1)－1)/(9*10^(n-4)),(10^n－1)/(9*10^(n-3))],
[(10^n－1)/(9*10^(n-3)),(10^(n+1)－1)/(9*10^(n-2))],…
希臘人還沒有無窮級數的概念，因此從數學上來講難以理解這樣的問題.
另一個與之類似的著名問題，是《莊子》里的「一尺之錘，日取其半，萬世不竭」.蝦蟇爺爺曾在一次即興高等數學講課中，為了說明極限的概念而引用了這句話.
當然這裡是有點小問題的，因為當這個過程被無限執行下去，n→∞時，剩餘長度也就趨於0了
實際上這也是個級數問題：
1－(1/2＋1/4＋…＋1/(2^n)＋…)＝0
不過這裡想要執行完這一無窮步的過程，消耗的總時間本身也是無窮的，這一點與上一個問題有區別，但同樣是無限多步截取的無窮多段總長度是有限的.
而「萬世不竭」這個說法，恐怕恰好是因為同古希臘一樣，古代的中國也同樣沒有嚴密的「無窮」這樣的數學概念.
參考資料：
《數學分析》卓里奇
《Analysis》陶哲軒
《極限論與微分學新探》定光桂

按這樣的推理，只能說明「在追上烏龜之前，他追不上烏龜。」

芝諾是想反證，時間和空間不是無限可分的，假若可以，就會出現故事裡的謬誤。
但是，他這個反證是失敗的。因為既然時間和空間都是你要證明的自變數，且在這裡重點並不是它們的交互作用。那麼你就應該分別對它們進行論證，而不能同時把它們納入一個實驗中來證明（這時，它們成了彼此的額外變數）。
芝諾悖論里，當他把空間「無限可分」化的同時，時間也被「無限分割」了，這是他論證失敗之處。
以上。

簡單，別只想路程，也想想時間。

每次阿基里斯跑完上次和烏龜的間距時，烏龜又往前走了十分之一，然後阿基里斯再跑，烏龜再走十分之一。

的確，把以上路程加起來，似乎阿基里斯總是在烏龜後面，但是，如果我們把相應的時間也加起來，會發現，其實時間也幾乎停止了。
路程0.1+0.01+0.001+0.0001+……可以永遠加下去也不超過，但與此同時，時間0.1+0.01+0.001+0.0001+……這樣加下去也幾乎沒有向前，它再怎麼加也到不了0.12。
所以原題中的「始終」是假「始終」，是時間被暫停了的「始終」，是在阿基里斯趨近烏龜的過程中時間被不斷放慢10倍的「始終」。

已經有很多不錯的回答了。
我想分析一下這個問題的有趣之處
這個問題用巧妙的方式描述了
「百尺之桿，日取其半，萬世不竭」
這個非常正確的理論。
（我絕對沒有時間眾籌的意思啊）
但這句話不等同於
「百尺之桿，隨你怎麼取，反正用不完」
把時間無窮小的分下去，確實他永遠在烏龜後面，這能說明我們可以把時間無窮的分小。
但也只說明了這個而已，
並不能說明他追不上烏龜。

這個悖論在數學上有一個理論錯誤：誤以為無限個數（有限數）相加一定是無限。
首先，每追一次烏龜，所需的路程會越來越少。其次，這個過程會重複無數次，也就是說共有無數條這樣的路程。
我們想問的是：無限次的這些路程之和等於多少？是正無窮嗎？
比如第一次追烏龜走了1m，第二次走了二分之一米，第三次四分之一米……………………
那麼總路程1+0.5+0.25+0.125…………等於幾？
如果等於無窮，說明追不上烏龜的情況可以從0m一直維持到正無窮遠，換句話說，永遠追不上烏龜，即悖論成立。
如果等於一個有限數，即等於x，就說明追不上烏龜的情況只能維持到距離起點x米的地方。換句話說，不但能追上，而且會在x米處相遇並超過烏龜。
無窮個數有可能是有限數嗎？我們知道數學中無窮級數求和就是回答這個問題，一旦級數收斂結果必然是有限數。
簡單來說，追龜的模型中，可以證明所有路程和一定是有限數，也就是說肯定能追上。
-------------------我是萌萌的分割線-----------------
其實這個悖論在數學中非常著名，第二次數學危機正是在討論這個問題，促使人們思考無窮的世界，最終使微積分被提出和完善。
然而，以上這些也只是數學上的解釋，但是我們是否解決了芝諾的哲學上的挑戰呢？芝諾要證明的是運動是虛假的，時間空間不是連續的。
看起來我們似乎解決了芝諾的問題，但是想想看上面數學解答的前提是：時空是連續的。
換句話說，我們的證明只是在說：假如時空是連續的，這個悖論是錯的。但我們卻不能用這個證明去說明時空是連續的。
這就引發了一個更有趣的問題：數學模型是否真的能正確描述現實中的物理現象呢？恐怕沒有答案

如果題主懂高數。。。應該沒什麼理解上的問題，也就兩邊積分的事。
但是，如果要求用邏輯證明。。。我覺得從命題的角度分析有點牽強，事實上悖論之所以是悖論往往因為它在命題的層面推理站得住腳。
從概念角度分析比較好。
阿基里斯追烏龜的謬誤與二分法謬誤一樣，混淆了兩個概念無限可分與無窮寬廣
物理學上的運動，追及，討論的是寬廣問題
而阿基里斯追烏龜卻把具體的距離量度偷換成可分的比例量度
因此你如果用數學求解這一題就是把這種可分量度通過積分轉化為實在量度，你就會發現，在實在量度上，他們具體的距離可以出現共同值
當然，可以是從距離的角度談，也可以從時間角度談，本質都是將具體的量度偷換成一定的比例
而如果涉及無窮這樣的概念偷換的就是無限可分與無窮寬廣。

當你每一次說「又」的時候，Achilles跑烏龜額外跑出的距離所需要的時間是一個幾何級數：10+1+1/10+1/100... 這個級數是收斂到一個有限的有理數的，因此不存在烏龜「始終」領先Achilles的情況。到這個時間點之後（11又1/9？），他就超過了烏龜。所以真實情況是，當Achilles超過烏龜的時候，他就超過了烏龜。或者說，再追上烏龜之前，Achilles沒追上烏龜。
你以為Achilles追不上烏龜，實際上只是因為你在不斷減少時間的流逝速度，你的每一個「又」時間的尺度是不一樣的。不信試試，從第二個「又」往後，算一下一秒之後大家的位置，你會發現Achilles早已超過了烏龜。

2015/4/11更新，首先感謝大家支持，這個答案可能是第一個百贊答案。
其次，質疑並反對 @小屋住不下對我的反駁。具體的反對意見和進一步對原問題的評價可以參考本回答第四部分（本來第四部分是預留給更深入研究的，現在會成第五部分）。
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這個問題真的有這麼困難嗎？
這個回答包含三個部分，第一個部分最直觀，結論也很好理解。第二部分雖然有些抽象，但有著更好的說明力和辯護力。第三個部分涉及了一些數學內容，所以可以跳過直接看這個部分的結論。實際上，三個部分是一個遞進的過程，三個部分的結論本質上一樣，只是從不同的水平和角度去解釋它罷了。
=====一點直觀思考======
假設：
1，阿基米德的速度是10m/s。
2，烏龜的速度是1m/s。
3，烏龜在阿基米德前方9m。
為了更直觀的說明這個「悖論」，讓我們假設現在有一個鐘錶，鐘錶的秒針現在指向第59秒。
現在，當鐘錶的秒針指向59.5秒的時候，讓我們看看發生了什麼？
阿基米德移動了5米，烏龜移動了0.5米。阿基米德與烏龜的距離現在只有9+0.5-5= 4.5米。現在，情況就有點像「悖論」所描述的樣子了，但真實情況究竟是怎樣呢？
阿基米德現在為了追上與烏龜的差距：4.5米。我們可以計算出所需要的時間：t = s/v = 4.5m/10m/s = 0.45s。這意味著，阿基米德需要花費0.45秒追上烏龜，雖然烏龜會在0.45秒的時間內，走出s = vt =1m/s 0.45s = 0.45m。
看看鐘表，秒針現在指向了59.95秒。
繼續計算，阿基米德為了追上烏龜新走出來的0.45m，他需要多長的時間呢？很容易計算， t = s/v = 0.45m / 10m/s = 0.045s。而這段時間內烏龜又走了多遠呢？ s = vt = 1m/s 0.045s = 0.045m.
再看看鐘表，秒針現在指向了59.995秒。
我覺得說明到此可以結束了。很自然就會發現：
按照「悖論」的說法，雖然阿基米德確實永遠追不上烏龜，但是鐘錶的時針也永遠指不到12點了。但這個明顯不符合現實，所以根據modus tollens，這個悖論是錯誤的。
=========一個對比的「悖論」==========
試考慮這樣一個模型，一個鐘錶的指針現在指向59秒，差1秒就走到了12點整。我們做如下的分析。
假設鐘錶的移動是連續的（這個假設很符合阿基里斯悖論）。那麼我們可以劃分出很多個距離點。假設從59秒到12秒的圓弧距離是1cm（好大的鐘錶）。
1、分開10個點在這1cm上，那麼按照邏輯推理，指針必然先移動到0.1cm，再到0.2cm，再到0.3cm，依次經過9個點，然後到達12點。這是可以理解的。
2、現在我們分開無限個點（但可數），如何分呢？按照這樣的規則： $x_{i} = sum_{n=1}^{i} frac{1}{2^{n}} quad i=1,2,3 dots$
即在0.5cm,0.75cm,0.875cm...這些個點設置。
於是，同理，指針也必然先移動到某個點，0.5cm點，到0.75cm點，再到0.875cm點，再經過無窮多個點。
如此這般，我也可以提出一個「鐘錶悖論」，用來對比「阿基里斯和烏龜悖論」。按照「鐘錶悖論」，因為存在著無窮多個斷點，那麼鐘錶為了要抵達12點，必然要經過這無窮多個斷點。但我能否聲稱「因為指針要經過這無窮多個斷點，所以指針永遠都到達不了12點？」
很容易構建起一個reduction，位於鐘錶悖論和烏龜悖論。按照我上文的說明，我們理論上能知道每一個阿基里斯追上烏龜的點。那麼可以將其映射到鐘錶的盤面上。阿基里斯永遠追不上烏龜，也就等價於鐘錶永遠指不上12點。
這樣一來就很清楚了。悖論認為：
1，指針要抵達12點，需要經過無窮多個斷點。
2，經過無窮多個斷點，需要無窮多的時間。
3，指針要抵達12點，需要無窮多的時間。
但是，小前提2，明顯是錯誤的。
=========高級研究========
雖然2顯然是錯誤的。但我們要上升到哲學高度去問，2究竟是哪裡錯了呢？或者2究竟說明了什麼呢？
1，考慮這樣一個情況。我們把實數軸劃分成無限多個（可數多個）區間，每個區間的間隔是1，那麼即是 $dots [-1.5,-0.5],[-0.5,0.5],[0.5,1.5],dots$ ，每個區間記為 $I_{i}, i in mathcal{Z}$ , 某一區間的長度用 $|I_{i}|$ 來表示。
顯然地，數軸上有無窮多個斷點，同時，我們有 $sum_{iin mathcal{Z}} |I_{i}| = infty$ 。這意味著，2在這個模型下，反而是正確的。
2，再考慮另外一種情況。我們在數軸上截取一段 [0,1]。之後，我們要在[0,1]上划出一些區間。我們這麼來劃，先從有限個區間划起吧。設我們要劃分出n個區間：
$I_{i} = [0+frac{i-1}{n}, 1-frac{n-1}{n} ], iin {1,dots, n }$
如果n取10，那麼 $I_{1} = [0, frac{1}{10}], I_{2} = [ frac{1}{10},frac{2}{10}]$ ,以此類推。
不用說， $sum_{i in [n]} |I_{i}| = 1$ .
接下來，讓我們增加n的數量，但很顯然，[0,1]的長度仍然是1。
$lim_{n ightarrow infty} sum_{iin [n]} |I_{i}| =1$
可以看出，雖然現在我們有無窮多個區間，但這無窮多個區間之和仍然是1。
======結論========
假設2之所以錯，不是因為假設2是矛盾、違反邏輯的。而是由於假設2這樣的日常語言是含糊的，所以它包含了兩種理解它的方式。烏龜悖論在於利用了其中一種（第一種）模型去解釋本該是用第二種模型解釋的現實。
=====第四部分-辯護======
（PS：是阿基里斯，不是阿基米德）
還是讓我們通過一個實例來看吧。這次把目光轉移到芝諾的另外一個悖論：飛矢不動
這個悖論是這樣的。

芝諾問他的學生「一支射出的箭是動的還是不動的？」
「那還用說，當然是動的。」
「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」
「有的，老師。」
「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」
「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」
1-「不動的，老師」
「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」
「也是不動的，老師」
「所以，射出去的箭是不動的？」

由於這個論證十分簡單，所以也不用我加以形式化了。讓我們看帶有標號1的句子。
這個回答明顯是錯誤的！
論證如下：說一個物體是運動的還是不動的，評判的標準是什麼？
芝諾的這個學生，以及很多人恐怕都只是在腦海中表象出了一根弓箭，在運動，在說到某一瞬間的時候，又把這根弓箭在腦海中「靜止化」了，然後自然而然想當然地說出：「是不動的」這個謬論。
但這種思考問題的方式是有問題的。判斷一個物體運動不運動的標準不是腦海中的想像表象，而是速度！如果速度大於0，則是運動，如果是0，則是靜止。
那麼問題來了，一個運動中的物體的一瞬間的速度是什麼呢？瞬時速度。學過大學物理的同學們一定不會忘記這個公式吧？
$extit{ extbf{v}} (t_{0}) = lim_{Delta t ightarrow 0} frac{ extit{ extbf{r}} (t_{0}+Delta t) - extit{ extbf{r}}(t_{0}) }{Delta t} = frac{d extit{ extbf{r}} }{dt} |_{t=t_{0}}$
已知一運動物體的位置矢量 $extit{ extbf{r}}$ 方程，我們任取移動物體某時刻，或某位移（這都可以互相計算）。設其為時間 $t_{0}$ ,然後我們求這個時刻，物體的瞬時速度，想必不會是0吧？
那麼誰能告訴我：如果這個物體的確在運動（假設中要求的），我們是如何得出在某一刻，那個「物體是靜止的」這個結論的呢？
按照芝諾悖論的形式，如果這個命題是假的，那麼悖論不成立。
總結：芝諾用了一套錯誤的運動、時間、速度觀念來刻畫一個事情，而這個不成熟的或想當然的觀點當然引導不出正確的結論。
實例就是很多人還持「當距離r無限小，一個弓箭時間內通過無限小距離，其速度應該是0」這種判斷來反駁我。上面的例子說明了，實際上只是想當然的用了「無限小，時間，速度，距離」這些概念罷了。另外，關於連續和離散的爭論，恐怕九成存在著類似上述的問題，對概念的理解只是模糊的，臆測的，而不是嚴格的。
關於時空連續性和離散性與這個問題的聯繫放到第五部分來說明吧。

我來看魔法盛宴，你們全是正經臉怎麼回事？

時間作為一種觀念是可以無限細分的，但具體的度量並不可以。宇宙中存在某原子半衰期這種最小的可以用以度量時間的單位，而當阿基里斯與烏龜間的距離小於他在這一最小時間單位運動的距離時，趕超就完成了。所以，阿基里斯追不上烏龜只是在「在阿基里斯沒趕超烏龜的時間裡」這個限定條件下成立的命題，換言之這是一個以蘊含自身的命題為前提的重言式推理。
……為什麼有一種已經回答過這個問題的既視感……

首先，題目有誤，這個是古希臘哲學家芝諾提出的悖論。
其次，與烏龜賽跑的不是「阿基米德」，而是「阿基里斯」（Achilles，也譯作「阿喀琉斯」），就是那個特洛伊之戰里神擋殺神刀槍不入，然而腳後跟中一箭就掛了的英雄。芝諾之所以選擇他來和烏龜賽跑是因為他是希臘傳說中跑得最快的英雄。

從數學上反駁大家都已經說了，其他邏輯上的反駁，我暫且給一個思路吧！
你讓阿基里斯先待在原地不動，讓烏龜先跑兩秒，也就是前進2米，然後烏龜不動阿基里斯再跑兩秒，哇！一下子就200米了。這個時候烏龜已經被腳後跟甩了98米了！當初說好的永遠追不上呢？（烏龜：「看我咬你腳後跟，你還怎麼跑贏我！」）

呃，好多長答案，忍不住說一下。。。
這個悖論大概說的是：在走了無數次之後，神跑不過烏龜。然後經過推論證明是對的。
其實我覺得從邏輯上而言就已經無法駁倒了，因為這句話可以是對的。
但是，走了無窮次是否等價於走了無窮遠，或者走了無窮時間，這是值得討論的。
個人認為這句話屬於日常辯論的範疇，存在著非常普遍的隱藏前提的現象。即，在一般語境下，默認走無數次可以推導出走了無窮遠或者時間。但是在這個故事的語境下，卻罕見的不滿足前提，即這種方法走的話，會導致時間和距離都存在極限值，就不滿足常識的前提了，所以這句話的正確也就不應該推導出常人理解的奇怪的事情是正確的，即：為什麼這個推導反常識？因為你跟他在說兩件事。
所以其實駁倒它的核心就在於常識是不是永遠成立，即無窮個數的和是否一定是無窮大，這就好證明了，去翻高數書吧
至於有人說這個問題涉及什麼無窮機器的問題，雖然不懂，但是我倒是覺得不一定影響結論，因為虛數也是不存在的（有時候），但是使用了虛數說計算出來的結果仍然可以是可靠的，所以這裡的極限也可以理解為類似工具，雖然無窮機器是不存在的，但是其邏輯推導是仍然成立的

反對 @小屋住不下，以及所有扯量子力學的答案。因為芝諾時和真實時間根本無法一一對應。
@匿名用戶：「按這樣的推理，只能說明「在追上烏龜之前，他追不上烏龜。」」

假設一個記者在Achilles後面123米的地方，速度是23.3m/s。
Achilles跑了100米，烏龜依然領先Achilles 10米。
但是此時，香港記者已經跑了233米，領先both烏龜和Achilles。
在烏龜和Achilles進行無止境賽跑的時候，記者早已經跑在了他們前面。

居然真的一大堆人還在那裡想著怎麼駁倒芝諾悖論。這種無限逼近終點卻恰恰達不到終點的狀態難道不恰恰是當人類將飛行器無限接近光速卻始終無法達到光速的境界嗎？假設烏龜是光，阿吉里斯屁股後面噴著熊熊烈焰瘋狂加速，但無論如何也無法加至光之速度？越接近速，時間的均衡性就越被撕裂，無窮小的碎片變為鴻溝，誰敢說芝諾這是個詭辯？！這特么根本就是對於相對論的古希臘哲學意義上的預言啊！！

無限本身就是悖論。這個很簡單的問題是，烏龜跑10m和阿基里斯跑10m所花的時間是不一樣的，悖論中則有意迴避這一事實。

時間空間不連續
以及，我們也能測量動畫片里物體運動的速度然而它們只是一幀幀的畫面組成
最後，僧肇寫過《物不遷論》

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