如何通俗的解釋歐氏空間？

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從起源來講，歐式空間是滿足歐幾里得《幾何原本》中幾何五公理的空間。維基百科歐幾里得幾何中給出的解釋如下：

1. 從一點向另一點可以引一條直線。

2. 任意線段能無限延伸成一條直線。

3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4. 所有直角都相等。

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

其中第五公理就是爭議不斷的「平行公理」。後來（大概是17世紀開始）反對平行公理的數學家們，只用前四條公理推出的、不滿足第五條公理的空間（例如：過一條直線外一點有無數條平行線的空間、沒有平行線的空間等）便是非歐空間。也就是說，在這幫偉（dao）大（luan）的數學家出現之前，根本就沒有所謂的「非歐空間」，也自然沒有「歐式空間」，人們都普遍認為世界上只有唯一一種組成空間的可能，就是我們所生活的符合經驗的空間，也即歐式空間。

（PS：其實我們生活的空間並非歐式空間，比如地球的經線，互相平行但卻相交於兩極，是非歐空間，只是我們察覺不到罷了。另外，經線也是非歐幾何中黎曼幾何（橢圓幾何）里典型的「有限無盡直線」）

（補充：歐式幾何里的平行是這樣的：第五公設里「若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角」稱為兩直線非平行。若內角和等於兩個直角（180°），即為平行。經線與赤道的交線形成的角均為直角，根據定義是平行。）

對於本科數學以下的數學知識而言，並不需要詳細了解非歐空間，也因此可以默認五公理均為正確。在這五公理下推導出的經典幾何定理（例如直角坐標系、向量內積等）均是歐式空間下的定理。

簡單來說，如果不是數學專業學生，那麼平常我們生活、思考、做題的時候用到的空間都是歐式空間。當接觸到非歐空間的時候，才會去區分歐式空間和非歐空間。歐式空間在不同體系下有完全不一樣的描述，譬如直角坐標系描述、向量描述等。但是想要「通俗的解釋」，那就直接說「就是我們生活的空間」（初高中生的話，「立體幾何課里的空間」）大概就可以了...

歐氏空間可以理解為幾何空間的度量性在線性空間推廣的結果。

線性空間缺乏度量性，不能在線性空間上描述向量的長度及向量間的夾角，這一不足制約了線性空間的使用。參考幾何空間，向量的長度及向量間的夾角在幾何空間都能通過向量的內積來定義，因此只要在線性空間加入內積這一運算，就能讓線性空間具有度量性。

對幾何空間的內積進行抽象，可知其本質為幾何空間到實數域的一個二元映射，且這種映射具有對稱性、左線性及正定性。於是，做下述定義。

歐氏空間：設A是一個實數域上的線性空間，定義一個A到實數域R的二元映射f，使得A中任意兩個向量在R中都有唯一確定的數與之對應，若f滿足以下三點：

任意α、β、γ∈A，任意k、l∈R

（1）f(α, β) = f(β, α) ；（對稱性）

（2）f(kα + lβ, γ) = kf(α, γ) + lf(β, γ) ；（左線性）

（3）當α ≠ 0時，f(α, α) ＞0；（正定性）

則稱f為A的內積，A就稱為歐氏空間。簡而言之，歐氏空間就是具有了內積的線性空間。

本人才疏學淺，若回答中有錯漏之處，還請各位知友批評指正。