學完泛函分析可以做哪些事情？

01-01

在修泛函分析，老師講得一塌糊塗，興趣盡失，求問學過泛函以後可以在哪裡用到它，可以用它來做些什麼。謝！

如果泛函分析是指本科生課程的泛函分析的話, 那麼與樓上的回答相反, 我認為學完泛函分析幾乎什麼也做不了...(如此負能量)

大學本科生學的泛函分析不外乎如下三塊內容: Banach空間與Hilbert空間的幾何, 廣義函數理論初步, Banach空間和Hilbert空間上的有界線性運算元和緊運算元初步. 這些內容都有著很深的物理和應用數學背景, 而泛函分析中的這一部分基礎內容幾乎全然是具體例子的抽象再表述. 舉幾個簡單的例子:

(1) 壓縮映像原理抽象自一切含有"小於1的Lipschitz常數"的存在唯一性問題, 例如微分方程論中Picard存在唯一定理.

(2) Hahn-Banach定理是線性代數中基底擴張定理的推廣, 來源於凸集的分離問題.

(3) Hilbert 空間的Riesz表示定理和Lax-Milgram定理直接來自於偏微分方程中的弱解存在性問題.

(4) 緊運算元的Riesz-Fredholm理論來自於線性積分方程的特徵值問題.

本科生泛函分析所做的, 不過是將這些具體問題中所共同share的數學結構抽象出來, 進行簡潔的集中表述. 能夠用本科生泛函分析解決的問題大多已經發展得相當成熟, 餘下的問題則要麼是硬得做不動, 要麼是具有很強的綜合性 (例如綜合了調和分析), 不能在本科生課程中展開. 幾個例子:

(1) 線性運算元微擾論; 這是典型的綜合性問題, 涉及到比較深的運算元代數. 儘管是Hilbert空間上的線性分析, 但其中的一些基本問題 (具有直接物理背景的問題) 遠遠沒有解決.

(2) 直接線性化; 這基本上來自於橢圓微分方程, 為了研究非線性的橢圓微分方程, 想辦法通過一些巧妙的計算把它歸結到線性橢圓運算元的情形. 相關的有Leray-Schauder理論等等理論; 需要說明的是, 這些理論最終都歸結為先驗估計, 其難度比之原問題其實並不見得減少.

(3) 反函數定理; 重點不在於定理本身的表述, 而在於這一套方法對於許多非線性微分方程問題都是適用的. Banach空間上的線性泛函分析用來處理不夠好的非線性的微分運算元是比較頭疼的, 所以就有必要考慮更廣的一類空間. 但這些內容因為涉及較深的調和分析而過於繁雜, 本科生泛函分析是不可能涉及到的.

總體說來, 本科生的泛函分析課程帶有一定的研究性質, 但是也只是為後續的學習研究奠定了一個基礎. 這門課的目標基本就是讓學生熟悉抽象分析的語言, 並能夠解決研究中遇到的簡單問題 (例如某些簡單的方程的解的存在唯一性), 離真正的研究尚有很遠很遠的距離. 一定要學到非線性泛函分析, 才算是離研究更近了一點.

泛函分析在很多數學分支中都非常有用。比如在偏微分方程中，證明二階線性橢圓型方程弱解的存在性，就可以用泛函分析中的 Lax-Milgram 定理，能容易就能得到結論。比如在差分方法中，用共鳴定理可以直接推出非常重要的 Lax 等價定理。比如在漸進分析中，Fredholm 二擇一定理對理解可解性條件非常關鍵。這樣的例子太多了。

另外，泛函分析是我學過的數學裡面覺得最漂亮的學科，結論都很乾凈簡潔。北大張恭慶的教材就很不錯，裡面有很多泛函分析在不同問題中的應用，進階可以看 Lax 的教材。

泛函分析在量子力學中所起的作用基本相當於微積分在經典力學中的作用。

PDE,PDE,PDE.

此行有風險，入坑需謹慎。

可以看二階橢圓方程了

我們班(高中)有大神學完了泛函分析，現在已稱霸本省裝逼界。

可以學非交換幾何。。。

我是因為機器學習才去學泛函的，題主如果想蹭一波熱潮的話，一些核方法模型比如：高斯過程，reproducing hibert space kernel，都是現在比較前沿並且有很好發展的一些話題。

泛函分析在現代數學幾乎各個領域都很有用。我是做運算元代數的，這個來源於量子理論。我們幾乎所有的工具都來源於泛函分析

可以學量子力學呀o(*////▽////*)q

啊；有限元，這個我也學過+_+