為什麼正多面體只有5種？有沒有更加直觀易懂的解釋？

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除了從數學上證明外，怎麼才能通俗易懂的理解它？

我們來做個遊戲，拿一堆正多邊形來拼頂角：

1、先拿正三角形來，從三個開始拼——正四面體get√；

2、再加一個，用四個三角形拼一個頂角——正八面體get√；

3、再加一個——正二十面體het√；
再加就不成了，六個正三角形拼成平面了，咱要的是多面體，不是廣場地磚；

4、那再拿正方形開拼，三個拼一個頂角——正六面體get√；
再加一個就不行了，又成平面了，還加？擠死也擠不進去啦；

5、來幾個五邊形試試，三個五邊形——正十二面體get√；

試試六邊形呢……哎呀媽呀三個就成平面了，再多邊就更沒戲了——看來也就這五種了。

在數學上正「多面體」——的嚴格概念——正多面形——是用對稱性定義的。（正多面形定義為其對稱性在 Flag 上保持傳遞的多面形。）不考慮抽象多面形的話，也可以正多面形定義為由相同的，維數少 1 的正多面形構成，所有頂點的配置也相同的多面形。如果按照這個定義那麼二維「多邊形」構成的三維「多面體」可是有無數種。

因此，題主問題的準確說法是，只有五種凸的非退化有界正多面體。它的證明可以用歐拉示性數證明：

假設此多面體由 p 邊形構成，而每個頂角此處有 q 條邊的話。因為正多面體是凸且有界，則它同胚於球，因此

$V+F-E = 2$

$pF=2E=qV$

非退化條件下 p, q &> 2，可以解處五組解，剛好對應五個正多面體。

不過呢……

不要求非退化：有無數種二面體（Dihedra）、對偶二面體（Hosohedron），還有一面體（Henagonal Henahedron）。這些只能用其在球上的像表示：

（這個是獨角一面體）

（這個是三角二面體）

（這個是上面那貨的對偶）

不要求凸：有四種 Kepler-Poinsot 多面形，它們不是凸的，其中有兩個的「面」還是五角星，兩個的面會交叉……對稱性都是 Ih。

不要求有限：不要求有限的話三種鋪地磚方案——三角形、正方形和六角形——就能算進去了。然後還有無數種雙曲地磚……

其實啊這張圖已經把用相同種凸正多邊形列出的非退化均一鑲嵌給全部列出了。五種正多面體實際上是球面鑲嵌，挨著它們的是三種平鑲嵌，然後是眾多的雙曲鑲嵌。另外雙曲鑲嵌可是有無窮階的……以上是「二維面構成三維『體』」的情況。對於三維「面」構成四維多胞形的情況，結果是這樣——有 6 種凸正多胞形，10 種凹正多胞形，1 種平密堆（就是堆正方體啦！），4 種雙曲密堆，以及 11 種仿緊雙曲密堆（paracompact honeycomb）。

假設正多面體每個頂點由 $m(mge 3)$ 個面組成，則每個面對應的夾角要小於 $frac{2pi}{m}$ ，而每個面均為正多邊形，正n邊形的每個角大小為 $frac{(n-2)pi}{n}$ ，求解一下 $frac{(n-2)pi}{n}< frac{2pi}{m}$ 就可以得出滿足條件的(n,m)只能為(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)，對應五種正多面體

根據歐拉定律，可以被吹脹為球的多面體遵從v+f-e=2原則，v頂點數，f面數，e棱數。

正多面體是每個頂點都連接相同數量的棱，即2e=nv，每個面都是相同的多邊形，即2e=mf，nm均為正整數。然後就可以線性規划了。

得出只有五組正整數解，即五個正多面體。

感謝 @Ferax指正。

——《數學的語言》 [美] 齊斯·德福林

首先正多面體每個面必須是正多邊形，從正三角形開始，至少3個拼在一塊，然後就得到了正四面體，然後是4個正三角形、5個正三角形，當到6個的時候，三角形就在同一個平面上了，所以結束了。所以就是33、43、53、34、35，共5種情況。

同調群是拓撲不變數，直接由同調群的dim定義出歐拉示性類也是拓撲不變數，無他。

只要一個東西被發現是拓撲不變數也就是說可以定義characteristics，那麼後續的廢話我覺得都是直觀的了。

咳咳，你們想太多了。。看這個視頻：Platonic Solids

凸多面體同一頂點的頂角之和小於360度

每個頂點至少連接三個面，每個頂角小於360/3=120度，最多正五邊形。

所以（正n邊形，每個頂點連接m個面）可能有：(3,3)(3,4)(3,5)(4,3)(5,3)。

再測試下這五種情況都存在。

假設每個頂點由m個正n邊形組成，由於每個頂點的角度必須小於360度，否則就成了平面了，可得：

$m*frac{(n-2)*180}{n}<360$

$m*(n-2)<2n$

$mn-2m-2n+4<4$

$(m-2)*(n-2)<4$

所以：

$(m,n)=$ (3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)

這種凸多面體，僅僅是虧格為 0 的多面體。。。。不過冰山一角，水很深。除了 5 個正多面體、無窮多個稜柱、無窮多個反稜柱和 13 個 Archimedean 體以外，其他所有由正多邊形拼成的多面體，結果是 92 個。

歐式空間只有5種，非歐空間呢？

是三維空間只有五種，更高維的就不知道了！

拓撲已經很簡單了

我有個初中生就能看懂的證明方法，如圖

棱邊和頂點個數表示方法不懂可以來問我

在古希臘時期，柏拉圖曾在其著作《蒂邁歐篇》中考慮過四大元素(火，氣，水，土)的性質。

柏拉圖認為這些元素顯然都是實體，而所有實體都是立體的，宇宙又只可能是完美的實體。所以似乎顯而易見，四元素的形狀一定是正立體。唯一有待確定的是它們之間的對應關係。

在柏拉圖看來，火是四面體，因為火是四元素中最小，最活躍的，而這些特徵正好與四面體對應。土則是立方體，因為立方體是最穩定的。水是四元素中最具有流動性的，所以它一定是最接近於球體的二十面體。氣在大小，重量和流動性方面都居中，所以它是由八面體構成的。而最後的十二面體是「上帝用來安排滿天星座的」。也正因為他的這些結論，這些正立體從此也被稱作柏拉圖立體。