如果結構形狀與彎矩圖一樣，會是怎麼樣？

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如果結構形狀與彎矩圖一樣，會是怎麼樣？

這是一個挺有意思的問題。

如果結構形狀與彎矩圖一樣，那麼力線就是在翼緣內平行流動。這種方法設計的結構或者構件，材料的利用效率高，並且可以直觀地反映力的流動方向。

一、前言

首先理解什麼是彎矩。

彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種，即垂直於橫截面的內力系的合力偶矩。其大小為該截面截取的構件部分上所有外力對該截面形心矩的代數和，其正負約定為是構件下凹為正，上凸為負(正負區分標準是構件上部受壓為正，下部受壓為負；反之構件上部受拉為負，下部受拉為正。

在土木工程中，彎矩圖習慣繪於桿件受拉一側，在圖上可不註明正負號)。比如說一個懸臂樑，當梁端力為2kN，梁長為3m，剛固端彎矩為-6kN*m，而梁的跨中彎矩為-3kN*m，按這個做法可以簡單算，不過更深的演算法要見《材料力學》了。

其次理解什麼是彎矩圖。

彎矩圖是一種圖線，用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況。

作為懸臂樑橋的典型代表，福斯鐵路橋（forth bridge）即採用與彎矩圖相似的形狀。

圖1：福斯鐵路橋（forth bridge）全貌

二、福斯鐵路橋簡介

福斯橋(Forth Bridge)，又叫福斯鐵路橋，是指愛丁堡城北福斯河(Firth of Forth)上的鐵路橋。鐵路橋建成於1890年，是英國人引以為豪的工程傑作。福斯橋是跨越福斯灣海峽上的第一座橋樑，僅供鐵路使用，至今仍在通行客貨火車。

福斯橋是一座懸臂式大橋，大橋全長2.5公里，是世界上最長的多跨懸臂橋，由約翰·富勞爾(John Fowler)及本傑明·貝克（Benjamin Baker）設計。利用懸臂式鋼樑，支撐兩跨各為四十六米長的鋼架，主通航孔橋由三個鋼「紡錘型」桁架、兩個鋼桁架掛梁組成，共使用約五萬八千噸的鋼料。在鐵路作為長途陸路運輸主要手段的年代，福斯橋是橋樑設計和建築史上的一個里程碑。

圖2：福斯鐵路橋（forth bridge）美圖

三、力學原理：

設計師本傑明·貝克決定採用人們並不太熟悉的懸臂原理——三個懸臂樑由兩個簡單的桁架連結並支承這兩個桁架段，構成兩個各三分之一英里(500餘米)的主跨（如圖3所示）。這一設計理念來自東方木橋的傳統。懸臂橋的優點之一是可以清楚簡易地計算應力模式。

圖3：福斯鐵路橋（forth bridge）主視圖

圖4是設計師展示懸臂橋的原理，可以發現橋身可以比較均勻地承載豎向力，材料的利用效率高，並且可以直觀地反映力的流動方向。

圖4：設計師本傑明·貝克展示懸臂橋原理

土木吧曾經分析了這座橋的受力原理。

分析結論是：

理論上，按照彎矩圖外形設計的結構，斜腹桿內力為零。結構弦桿承受了很大的軸力，且在整個跨度內，內力值分布均勻。

以下內容摘自土木吧。

作為地標性結構和蘇格蘭的象徵，福斯橋建於1882年，於1890年建成，全長2528.7米，其中包含兩個主跨（521.3米）、兩個邊跨（207.3米）和15跨引橋（51.2米）。每個主跨由兩個207.3米長的懸臂支承中間106.7米長的桁架。主結構的外形與兩端懸臂的兩跨連續梁的彎矩圖相似。下面我們參照福斯橋，以兩端懸臂的單跨簡支梁為例，嘗試建立與彎矩圖相似的桁架橋。

假定簡支梁的主跨為521米，兩端懸臂長207m。首先需要繪製梁的彎矩圖，通常採用靜載作用下的彎矩圖。假定樑上荷載為梯形分布荷載，利用SAP2000軟體，可以得到梁的彎矩圖及彎矩零點，如圖5。根據設想，假定懸臂樑橋兩端的懸臂段分為6個節間，主跨的伸臂（支座至彎矩零點的梁段）分為4個節間，中間梁跨分為8個節間，可以在SAP2000軟體中查到各個節間節點位置的彎矩值。

圖5 兩端懸臂樑的樑上分布荷載及其彎矩圖
（一）橋型A
首先根據使用要求、受力、建築創意，設定桁架橋的最大結構高度以及上弦或下弦的輪廓線，然後以此輪廓線為基準，對彎矩圖的彎矩值進行縮放。橋墩位置的結構高度最大，假定自水面以上，結構高度為106m，通航高度不小於35m，據此設定桁架的上弦或下弦的輪廓線，參考福斯橋，假定各段輪廓線均為直線。
首先根據橋墩位置的結構高度，對各節點處彎矩值進行縮放，然後以前面設定的結構外輪廓線為彎矩圖的基準線，繪製各節點的彎矩值，再連接各點，得到完整的彎矩圖，它的外輪廓線即我們所求的桁架橋的外形。進一步添加斜腹桿和橋面，便得到完整的橋樑布置方案。

圖6 橋型A及其找形過程四、

下面分析橋樑A的內力，可以採用圖解靜力法，或者利用商用軟體，方便起見，仍然採用SAP2000計算，將前文所述的梯形橋面荷載折算為作用在桁架節點處的集中荷載，並假定都作用在橋的下弦節點，結構的軸力分布如圖7。
結構弦桿承受了很大的軸力，且在整個跨度內，內力值分布均勻，腹桿內力很小。理論上，按照彎矩圖外形設計的結構，斜腹桿內力應為零，但是本結構是按照理想均布荷載作用下的彎矩圖設計的。
實際上，它承擔的是分布的作用在桁架節點處的集中荷載，這導致斜腹桿中會產生微小的軸力。需要說明的是，雖然在整個跨度內，桁架弦桿的內力值分布均勻，但內力值並不是恆定的。

圖7：橋型A的軸力圖
（二）橋型B

假定桁架的上弦或者下弦採用圓弧形，按照前述方法，可以得到新的橋型，如圖8。在分布的施加在桁架下弦的集中節點荷載作用下，桿件的軸力如圖9。弦桿承受了很大的軸力，且在整個跨度內，內力值分布均勻，腹桿內力很小。
需要說明的是，在相同的荷載作用下，橋型A和橋型B的弦桿的內力並不相等。雖然根據桁架外形與彎矩圖相似的原則，可以設計出無數種橋型，但是材料的利用效率是不同的，存在優劣之分。

圖8：橋型B及其找形過程

圖9：橋型B的軸力圖

四、關於橋樑抗風

當時橋樑抗風領域的研究還沒有像現在這麼成熟。

在這座橋誕生之前，曾經有一座泰灣橋在風中毀於一旦，因此人們對橋樑的抗風性能開始有了研究。

設計中貝克採用了交叉支柱（如圖10所示），以避免大片的平面暴露於側風，再加上「紡錘形」的橋型結構穩定性好，因此橋樑的抗風能力大大增加。

圖10：橋墩處的交叉支柱

五、施工過程

如圖11~13所示，在施工過程中，是先完成橋墩的施工。再利用橋墩的懸臂支撐作用，完成兩端的懸臂端的施工。

這樣可以充分發揮出結構的優勢，和結構的彎矩圖分布是一致的。

圖11：橋墩處的施工

圖12：橋墩懸臂端的施工（兩端向中間施工）

圖12：橋身慢慢在主跨合攏

參考文獻：

【1】黃錦源. 橋樑結構的哲學思考[J]. 中國市政工程, 2017(1):57-62.

【2】佚名. 英國福斯橋一項「沒完沒了」的工程[J]. 世界遺產, 2015(9):44-45.

【3】如果結構形狀與彎矩圖一樣，會是怎麼樣？土木吧

既然看到了這裡，就關注知乎邵工吧，這樣不會迷路。

知乎最可愛的工程師——邵工

作為一個前土木工程師，我首先想到的是……

樓上幾位連「魚腹梁」這個詞都說了，咱們還得尊重正版對不對？

生物，尤其是古生物學和土木工程的淵源不淺，要不怎麼會有一種叫「梁龍」的大傢伙呢？

（拉筋是肌肉，標出寬度的骨頭是橫隔梁）

反過來說，「配筋」這個詞，來源就是「筋骨」啊。

古生物不懂結構力學，但他們有幾千萬年的時間去慢慢調整。那些浪費材料的傢伙會被無情地淘汰。最終留下的，就是適應雙向受彎和動荷載的完美懸臂樑……

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謝邀。。。孩紙你念書的時候沒有聽過魚腹梁嗎？

魚腹梁在工程中還是一種蠻常見的應用，可以開啟省料大法。除了橋樑，在建築里應用也非常廣泛。其中有個Manufacturer叫Butler，該公司生產的所有預製裝配全部都看上去像彎矩圖，他們會使用論文層面的有限元分析等方法，把省料進行到底，在美國現在有很多的Butler Building。這種建築看上去是這樣的。除了梁，柱子也跟隨彎矩圖。