怎樣理解三維球面S^3?

01-01

就是4維歐式空間R^4中的單位球面S^3.
它有哪一些性質？哪些性質characterize了三維球面？
如從微分流形角度來看它是一個光滑無邊的3維可定向緊流形，且不與R^3的任意子集同胚。

如從度量誘導的拓撲上來看它是一個緊完備且連通的度量空間，即R^3的一點緊緻化。
……
或者有哪些方式可以擺脫直覺上的無法想像去理解它？能不能舉一些應用或者例子？（尤其是在代數方面的）
如計算S^3的De Rham上同調群或者低維同倫群（高維同倫群算不出來）
如計算S^3的Hausdorff測度（即"面積"）
如我們可以把它嵌入到R^4裡面去研究……
如我們可以研究它與一些好的集合的交集……

……
上面只是一部分方式，希望有人能具體來闡釋一下。
由於不能直觀理解，S^3並不像S^2那樣能夠直接想像，這個問題是希望能多得到一些關於S^3的一些性質和看待S^3的不同方式，加深對S^3的理解。

佔個坑，我曾經知道很多種直觀看到S^3的方法，回頭細答。

1. Hopf纖維化

2.兩個實心環粘在一起

3.歐式空間的單點緊化

4.實心正八面體的商

5.Spin(3)

6.Minkowski空間里的測地球與等時面的交

7.想起來再加

在Artin的代數裡面有一些個辦法我覺得還不錯。

如果要直觀地想像，可以用球極投影來看R3，或者看成兩個D3沿著邊界S2黏合——即上下半球分別通過南極點和北極點的球極投影映為三維圓盤，可以參考二維球極投影來直觀理解這裡的處理。

此外，直接給出李群的結構它是SU(2)，所以能夠比較不錯地「研究它與一些好的集合的交集」，Artin稱為「經」和「緯」，它們分別是過北極點的大圓（即S3與過北極三維子空間的交集，1維球面）以及「豎直」坐標為常數的曲面（2維球面），可以畫出它們的球極投影像而加深印象。它們也有代數意義：作為S U(2)的子集，緯是共軛類而經是共軛子群。其它的大圓（1維球面）也是某個經的陪集。

更多的內容和細節，可以參閱Artin的代數。

Hopf 纖維化

$mathbb{R}^{3}$ 加個無窮遠點。