為什麼最小作用量原理如此重要？

01-01

假設最小作用原理是正確的那麼可以從
時間的對稱性（homogeneity of time）推導出 能量守恆
空間的對稱性（homogeneity of space）推導出 動量守恆
旋轉的對稱性（isotropy of space）推導出 角動量守恆

經典力學的所有結論都可歸納為歐氏空間的幾何性質

十七世紀的物理學家說「物理學是研究守恆量的科學」
而到了十八世紀物理學家說「物理學是研究對稱性的科學」

因為根據最小作用原理 守恆量的本質是空間的對稱性

這使得理論物理像幾何一樣可以被公理化
只要在歐氏空間引入最小作用原理就可以從歐氏空間的幾何性質（即對稱性）推導出經典力學的所有內容

這使得力學有了更通用的框架：空間的幾何性質 + 最小作用原理 = 守恆量

那麼問題來了：
在我們生活的宇宙空間幾何性質究竟是什麼？
歐氏幾何（即文首列舉的對稱性）是否充分描述了我們的宇宙空間？

愛因斯坦的答案是否定的

在發現高斯絕妙定理以前包括牛頓在內的人們一直以為空間是平直的
這種對空間的誤解無異於古代人認為地球是平的
只在小範圍觀測地面很容易產生「地面是平的」的錯覺
若擴大觀測範圍（上天）不難發現地球其實是圓的
同理古人對空間也存在這樣的錯覺
但只要在較大範圍觀測空間的話不難發現空間是彎曲的

愛因斯坦對經典力學的補充用一句話概括：空間是彎曲的
而最小作用原理無需更改

既然空間是彎曲的歐氏幾何便不再適用因為它假設空間是平直的 黎曼幾何順勢被作為新的幾何語言來描述宇宙空間

黎曼幾何把我們生活的時空描述為一個帶有度量的四維流形 $(M,g_{ab})$
在這個流形上最多存在 n(n+1)/2 = 10 個對稱這些對稱由 Killing 方程給出

$L_{V}g_{ab}=V_{b;a}+V_{a;b}=0$

其中 4 個是 $x,y,z$ 方向上的空間對稱 以及 $t$ 方向上的時間對稱
3 個是關於 $x,y,z$ 軸的旋轉對稱
3 個是不同空間方向上的洛侖茲變換（雙曲旋轉對稱）

根據最小作用原理每一個對稱都對應一個物理守恆量 能量守恆動量守恆角動量守恆依然健在
但質量守恆不在其列!

$E=mc^2$

我們發現

質量與熱能和機械能一樣不過是能量存在的一種形式

所以質量可以轉化為熱能與機械能

以獲得：

我們知道尋求所謂的大統一理論一直是物理學家的夢想（雖然這至今仍是和夢想），但可以說這個擁有並不怎麼恰當名字的原理是最普適、應用最廣的一個。在拉格朗日形式下，通過給出系統的拉格朗日量（密度），利用該原理，可以給出四大基本相互作用的運動方程。當然，這其中還有另一個很重要的思想就是對稱性（對稱性決定相互作用）。

具體點就是，利用最小作用量原理＋對稱性（群論）（當然還要加上一些小細節）可以推出整個標準模型，而引力論雖然和其他三個力不合，但也可以寫成拉氏形式利用最小作用量原理給出。

推薦《Physics from Symmetry》，門檻低但可以一覽整個標準模型的邏輯思路。

另，超理論壇中一群可愛的小夥伴給出了本書的中文版～

鏈接：【超理漢化組】Physics from Symmetry漢化（試讀版放出）

另另，這本書很棒，但各種小錯誤實在不忍直視啊…可以網上搜作者的勘誤表（但不全）希望趕緊出第二版啊～

勘誤表：Errata | Physics from Symmetry

最小作用量原理的重要性，至少要到拉格朗日力學框架才能夠得到初步體現。

牛頓力學是自洽的體系，不需要憑空製造一條原理。但是這個體系在應用方面並不十分方便，其一是受力分析沒有普適的方法，基本上就要具體問題具體分析，尤其是「約束反力」，也就是底面支持力之類的東西，其大小依賴運動狀態，不能事先知道；另一個很重要的原因是牛頓力學涉及二階導數的微分方程： $F(x)=mfrac{d^2x}{dt^2}$ ，這是一個數學上不那麼好處理的對象。

於是，人們經過嘗試，用最小作用量原理構建了拉格朗日力學，解決了約束反力的問題，同時也使得分析方法更加條理化，更加數學化，解決了許多問題。後來，力學進一步發展，人們找到了哈密頓力學，成功地找到了描述運動的一階方程（組），使得力學可解決的問題又一次增加。

同時，最小作用量原理還與量子力學的路徑積分表述息息相關，所以是非常重要的原理。

以上

為什麼如此重要我不好說，到底有多重要呢？我覺得下面這句話或許可以表達一下

傳言Feynman上高中時聽到老師講最小作用量原理的時候被深深震撼了，好像是窺見了上帝設計世界的圖紙。

從數學上看，微分方程問題在很多情況下可以轉換為泛函極值問題，後者有時有更直接的處理方法。

不知道各位有沒有發現物理學家猜測某未知事物時都希望從一個簡單的模型出發，然後一步步推導，這樣能因小見大，而且如果模型是錯的也是可證偽的。反觀民科，喜歡上來就一個大概念，巴不得萬物都涵蓋進去，這樣做連理論的發展都沒法進行，如何令人信服？比嗓門大？所以民科們連科學的門都沒入啊！