隨機三維單位向量的生成演算法如何做到均勻分布？

演算法1：直角坐標系，x, y, z均取[-1, 1]內的隨機數，然後單位化。

演算法2：球坐標系，theta取[0, 2Pi]內的隨機數，phi取[-Pi/2, Pi/2]內的隨機數，然後轉化為直角坐標。

問題：

1.
兩種演算法能滿足均勻分布的要求嗎？比如對演算法1，是否45度對角線方向的向量出現的概率會更高？對演算法2，是否球面兩極對應向量有更高概率？

2.
兩種演算法是否具有同等的均勻性，若不是，哪種的均勻性更好？

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前些天我思考過一個問題，如何將頂點隨機分布到球面上。其實這與題主是同一個問題。想到的方法也是題主提出的這兩個。我呢，數學證明什麼的已經渣了，但我會動手。將６５５３６個頂點分布到球面上，然後畫出來，看它均勻與否。

我寫了一個軟體YChaos生成混沌圖像，用它可以顯示這些頂點。下面的切圖看著是二維的，但在軟體中這些頂點是在三維空間中。

演算法1：直角坐標系，x, y, z均取[-1, 1]內的隨機數，然後單位化。

x=rand2(-1, 1)
y=rand2(-1, 1)
z=rand2(-1, 1)
r=sqrt(x*x + y*y + z*z)
x=x/r
y=y/r
z=z/r


不均勻，在六個頂點及八條邊上，頂點更為集中。演算法2：球坐標系，theta取[0, 2Pi]內的隨機數，phi取[-Pi/2, Pi/2]內的隨機數，然後轉化為直角坐標。

theta=rand2(0, 2*PI)
phi=rand2(-PI/2, PI/2)
x=sin(phi)*sin(theta)
y=cos(phi)*sin(theta)
z=cos(theta)


不均勻，在上下兩個頂點上，頂點更為集中。趙永峰提出的方法

u=rand2(0, 1)
v=rand2(0, 1)
theta = 2*PI*u
phi = arccos(2*v - 1)
x=sin(theta)*sin(phi)
y=cos(theta)*sin(phi)
z=cos(phi)


這是均勻的.

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黑魔法來了。對標準正態分布採樣三次，生成隨機數 x, y, z，則歸一化後的向量 (x, y, z) 符合要求。完全避免了昂貴的三角函數。我在實際工作中一直用的這個。

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這問題我正巧做過……

第一種太costy，二維的隨機變數居然sample3個數，不經濟。

第二種不是均勻的，因為球面上的度規不是平的，點會在極點附近聚集。

有一個最簡單的辦法。sample兩個(0,1)上的均勻分布隨機變數和，然後計算：

就對了。

參見Sphere Point Picking -- from Wolfram MathWorld

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P.S. 投影三維高斯（正態）分布、三維均勻分布舍選、以及MathWorld上另外兩種使用了其他變換的方法都是可行的。具體哪個快需要按照你的需求、工作環境、隨機數產生器的效率、手邊庫的情況來跑profile決定。

P.S.2. 這種方法還有個trick，你不一定真的需要算acos。如果你只關心生成的點的笛卡爾坐標，2v-1直接給你cosphi，sinphi相應地算一下就好了，省去幾次調用三角函數的時間。最終需要調用2次三角函數和1次sqrt。

P.S.3. 說到profile，今天正好跑了一個：

我想知道為啥我的Ratio-of-Uniforms比Box-Muller還慢……難道是這個隨機數生成器太慢……

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Sphere Point Picking -- from Wolfram MathWorld

@Cong Qiao 的是對的，證明見鏈接提到的參考文獻。

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你要生成單位長度的三維向量的話

第一種不是均勻的，第二種是均勻的

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第一種演算法是均勻的，第二種演算法從結果上來看會是球心位置的密度大一些，不過這在球坐標條件下依然可以視為均勻。

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兩種都不均勻，第一種如你所說，會集中在對角線附近；第二種的話，均勻分布的密度函數應當是

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