如何理解量子霍爾效應？
能夠理解邊緣態及其導電機制，也能理解邊緣態數目是量子化的。問題是量子化的邊緣態數目如何貢獻出一個平台化的橫向電導？具體過程是怎麼樣的？
我猜題主可能問的就是整數量子霍爾效應，粗略的說，是因為強磁場下，樣品內部的電子都在打轉所以只有邊緣態可以導電，而且是單嚮導電的。如果垂直於邊緣態沒有電勢差，那麼兩個邊緣態的電子數相同，向兩側運動的電流大小就相同。為了產生凈電流，需要兩個邊緣態上的電子數目不同，這樣需要在垂直方向有電勢差，比如加一個垂直方向的電場。加了電場之後，電勢低的邊緣會排斥出一部分電子，使得導電的電子少了，而電勢高的則相反。此消彼長，這樣可以計算出變化的電子的數目進而算出電流。這個電流必定和電勢差有關，根據歐姆定律可以求出此時電導的非對角分量正好是量子化的，和邊緣態的數目成正比，邊緣態的數目又是填滿的朗道能級的數目。手機碼字，不方便，之後更新一點公式。
Laughlin argument可以很好地解釋這個問題，不過Laughlin的原始文章(Phys.Rev.B23(1981))比較晦澀難懂，我推薦看Halperin的文章(Phys.Rev.B25,2185-90)。我簡要說一下文章的思路。考慮如圖所示的這樣的幾何構型，
存在兩個邊界，我們先考慮這兩個邊界的化學勢(Fermi energy)有個較小的差值，分別為mu_1和mu_2，並且前者比較大，這兩個化學勢都處於系統朗道能級之間，也就是在能隙中，所以在這兩個值附近並不存在mobile electron state。
接下來，讓穿過這個環面的磁通Phi緩慢（絕熱地）改變一個量子單位deltaPhi=h/e，系統會重新回到之前的態，同時增加了一個相位因子exp[-i(e/hbar)intdeltamathbf{A}(mathbf{r})cdot dmathbf{r}]。根據波函數的單值性要求，這種規範變化可以允許電子繞著環面運動,當然這種運動只能發生在兩個邊界處。因為系統本身回到了初始的狀態，乘以一個相位因子，那麼系統唯一可能發生的改變就是有整數$n$個電子從內邊界跑到了外邊界，根據法拉第定律，int JdPhi=n(mu_1-mu_2)，其中J為邊緣電流。如果把上式左邊寫成以$h/e$為單位的形式，那麼ar{J}h/e=neV，其中V=(mu_1-mu_2)e為兩個邊界之間的電壓，那麼最終就得到ar{J}=nfrac{e^2}{h}V.
最近在看這方面的。發現一篇相關的綜述文獻，分享一下！
綜述的封面：
綜述的Contents：
Abstract：
In this project we review the Classical and Quantum Hall Effects. We discuss these
two effects theoretically based on the available literature. In classical Hall Effect when a strong magnetic field is applied perpendicular to the electrons plane of movement,the electrons execute tiny cyclotron orbits around the flux lines. If in addition, an
electric field applied in transverse direction to the induced electric field, the electrons will tend to drift in a direction perpendicular to both fields, generating the Hall Effect. For the case of Quantum Hall Effect, energy associated with the cyclotron motion is quantized giving rise to the Landau levels and at low temperatures all the electrons are in the lowest Landau level. The filling factor can be changed by varying the magnetic field B for a fixed carrier density. This leads to the sitation that the Hall conductivity takes the values equal to e2/h as discussed in Chapter three. The Quantum Hall Effect can be Integral or Fractional. The Integer Quantum Hall Effect can be understood in an independent-particle model, without taking into account theelectron-electron interactions, in the Fractional Quantum Hall Effect, where the filling
factors take fractional values (1/2,1/3,1/5,...) the electron-electron interactions play an essential role. The Coulomb interaction produces incompressible states of highly correlated carrier motion in high magnetic fields at specific fractional filling levels. At such magnetic fields the electrons can be treated as quasi particles called composite fermions.
來源：Review of Classical and Quantum Hall Effect
作者：andrew shen
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- 霍爾效應
高中物理課上想必大家都學過霍爾效應: 將一塊導體(半導體也可以)放置在一個磁場內, 然後通電流. 在垂直於磁場和電流的方向會產生電壓. 這個效應最早是1878年由美國物理學家 Hall 在讀 PhD 時發現的. 這個效應非常有用, 比如我們可以基於此方便而又準確地測量空間中某處磁場的大小.
造成這個現象的原因大家是熟知的: 電子在磁場中受到 Lorentz 力而偏轉, 在導體兩端積累, 在導體中建立起電場從而在產生電勢差. 這個電壓被稱為霍爾電壓. 霍爾效應一個顯著的特徵是霍爾電壓與磁場強度成正比. 下面是 Hall 當年發現該效應時的原始數據:
- 量子霍爾效應
霍爾效應是在三維的導體中實現的, 電子可以在導體中自由運動. 如果通過某種手段將電子限制在二維平面內, 在垂直於平面的方向施加磁場, 沿二維電子氣的一個方向通電流, 則在另一個方向也可以測量到電壓, 這和霍爾效應很類似.
在整整一百多年後的1980年, 德國物理學家 von Klitzing 發現了所謂的量子霍爾效應. 之所以要等這麼久才能實現這一效應, 主要是由於理想的二維電子氣難以實現. 在半導體技術高度發展之後, 人們才能在"金屬-氧化物-半導體場效應晶體管"(MOSFET)中實現比較理想的二維電子氣. 除此之外, 觀察到這一效應還需要極低溫(1.5K)和強磁場(18T). von Klitzing 因此獲得了1985年諾貝爾物理學獎.
量子霍爾效應與霍爾效應最大的不同之處在於橫向電壓對磁場的響應明顯不同. 橫向電阻是量子化的, 由此我們稱這一現象為量子霍爾效應:
儘管從整體趨勢上看, 橫向電阻(圖中紅線. 電阻的定義為電壓/電流, 實驗時電流恆定, 因此橫向電阻就相當於橫向電壓)隨著磁場強度增大而線性增大, 但在這一過程中卻形成了若干橫向電阻不變的平台. 這些平台所對應的電阻是"量子電阻"除以一個整數 n, 對應圖中平台的"1, 0.5, 0.33, 0.25, 0.2"等位置. 量子霍爾效應也稱作整數量子霍爾效應(Integer Quantum Hall Effect ~ IQH). 原始霍爾效應所對應的區域是磁場強度 B 很小區域. 從圖中可以看見磁場強度很小時橫向電阻與磁場強度確實成線性關係.
除此之外, 量子霍爾效應中的縱向電阻(圖中綠線)的隨磁場的變化也很奇特: 在橫向電阻達到平台時, 縱向電阻竟然為零! 在原始霍爾效應時, 縱向電阻隨磁場幾乎是不變化的, 這對應圖中磁場強度很小時縱向電阻確實近似是一個常數.
量子霍爾效應其背後對應的物理機制, 通俗地說, 可以用下圖來解釋:
在強磁場下, 導體內部的電子受 Lorentz 力作用不斷沿著等能面轉圈(Lorentz 力不做功!). 如果導體中存在雜質, 尤其是帶電荷的雜質, 將會影響等能面的形狀. 實際上, 導體內部的電子只能在導體內部閉合的等能面上做周期運動, 而不能參與導電. (因此在很純凈的樣品中反而觀察不到量子霍爾效應!)
在量子霍爾效應中, 真正參與導電的實際上是電子氣邊緣的電子. 而邊緣的電子轉圈轉到一半就會打到邊界, 受到反彈, 再次做半圓運動, 由此不斷前進. 這種在邊界運動的電子, 與通常在導體內部運動的電子不同, 它不是通過不斷碰撞, 類似擴散的方式前進的. 而是幾乎不與其他電子碰撞, 直接到達目的地, 像一顆子彈. 因此這種現象在物理學中被稱為彈道輸運(ballistic transport). 顯然在這種輸運機制中產生的電阻不與具體材料有關, 只與電子本身所具有的性質有關. 因此橫向電阻總是量子霍爾效應中的這種參與導電的"邊界態"是當今凝聚態物理重要的興趣所在之一. "邊界"和"表面"有其重要的拓撲性質, 所謂"拓撲絕緣體"也與它們緊密相關. 事實上, von Klitzing 是在德國的 Wu?rzburg 大學發現的量子霍爾效應. 28年後, 同樣是在 Wu?rzburg 大學, 同樣是 von Klitzing 之前所在的研究組, Molenkamp 等人第一次在實驗上發現了拓撲絕緣體: 碲化汞. 由此也可以發現一項重要的工作的完成不是一蹴而就的, 其背後必然有著深厚的積累.
- 分數量子霍爾效應
之前在量子霍爾效應中, 曾經提到想要觀察到這個效應需要保證樣品中存在一定數量的雜質. 如果我們考慮一個極其純凈的樣品, 那會觀察到什麼現象? 在 von Klitzing 的實驗中, 實現二維電子氣的 MOSFET 中的氧化物和半導體是二氧化硅和硅. 但二氧化硅的純度很難提升. 1982年, 華人物理學家崔琦, 德國物理學家 Stormer 等人在 Bell 實驗室用 AlGaAs/GaAs 異質結代替二氧化硅和硅, 因為通過分子束外延(MBE)技術可以生長出超純的異質結, 從而實現極其純凈的二維電子氣. 他們發現, 橫向電阻的 n 不僅可以取正整數, 還出現了 n=1/3 這樣一個分數的平台! 這就是分數量子霍爾效應. 之後他們製造出了更純的樣品, 更低的溫度, 更強的磁場. 85mK 和 280kG, 這是人類第一次在實驗室中實現如此低的溫度和如此強的磁場(地磁場是 mG 的量級). 這樣的實驗技術令人嘆為觀止.
他們也因此觀察到了更加豐富的結構(下圖不是原始結果而是實驗技術進一步提高之後的結果. 參考: The Fractional Quantum Hall Effect. ):
根據之前對 n 的解釋, n 不可能是分數, 因為不可能有分數個電子同時進行彈道輸運. 之前的解釋不適用! 最早美國物理學家 Laughlin 給出了一個比較令人信服的解釋, 他因此和崔琦與 Stormer 分享了1998年諾貝爾物理學獎. 導體中電子中的相互作用主要有: 電子-雜質, 電子-電子. 之前在解釋整數量子霍爾效應時, 我們忽略了電子與電子的相互作用. 而在現在這種樣品極為純凈的情況下, 我們不能忽略這一相互作用. 因為電子之間的相互作用很強, 導致電子之間的關聯也很強. "牽一髮而動全身", 這時我們再用"一個電子"的圖像去看問題就不合適了. 為了解決這一問題, 其中一種看法是"混合粒子". 就像質子是由三個夸克組成的一樣, 我們可以人為地將處於磁場中的(電子)看作沒有磁場時的(電子+量子磁通量). 我們將(電子+量子磁通)人為地看成一個整體, 即"混合粒子". 在這種看法下, 我們會發現"混合粒子"之間近似沒有相互作用. 這樣我們就將一個強相互作用的問題轉化成了一個無相互作用的問題. 對於 n=1/3 的情形, 就是一個電子與三個量子磁通相結合成了一個"混合粒子". 這樣所謂分數量子霍爾效應就是"混合粒子"的整數量子霍爾效應. 由於一個電子現在附著了三個量子磁通, 這就解釋了分數量子霍爾效應中的 n=1/3. 示意圖如下, 穿過電子的三根線即為三個量子磁通:
整數霍爾效應和分數霍爾效應是再明顯不過的磁通量量子化證據。把霍爾器件的邊界看作等效迴路，而不是應用霍爾器件的電路看作迴路。霍爾器件需要外部提供電流才能工作，而我們要想像，這份電流在器件內部繞邊界迴流的情景。霍爾器件兩側建立的電壓阻止了外部提供電流變成繞邊界迴流的電流。然而，這份假想的電流有助於理解霍爾效應。況且，它在霍爾器件剛開始建立電壓時是真實存在的，被一等效電容隔斷。霍爾器件不會提供類似超導的抗磁性，然而，觀察磁通量量子化不需要看霍爾器件製造了多少磁通，只需要看外部磁場貢獻多少磁通時霍爾器件發生狀態改變。整個迴路的磁通量是量子化的。在電源提供固定電流的實驗條件下，參加霍爾效應的電子具有「最佳」個數和速度。個數和速度綜合起來就是電流值，剛好為匹配磁通量。經過等效電容積累電荷，初始電流值轉化為最終電壓值，器件兩端的電壓是「量子化」的。
我們特別要指出：分數量子霍爾效應的分母總是奇數，直接說明了磁通量以1、3、5……倍規律遞增。尤其注意，從0到1經過一份，而從1到3經過兩份，以後遞增都是兩份。
以上是考察一個電子得出的結論。當多個電子並行前進時，多一個電子就多一份倍數。是單個電子基礎之上的倍數。說簡單點。記分數量子霍爾效應所指的分數是A/B (A屬於整數，B屬於奇數)。實驗迴路的磁通量量子化呈現 A乘以B 的值 按從小到大排列的規律。這裡出現了一個問題，一個電子單獨製造的磁通量變化，與多個電子並行製造的磁通量變化要分開討論。一份磁通量量子是 h/2e。一個電子單獨製造的磁通量變化含有h/e。多個電子依次進行從0到1的跳變，磁通量變化是h/2e。-----------再換一換解釋的方法--------------在討論分數量子霍爾效應的段落，有個細節必須澄清。實驗里，迴路有兩個，一個是提供實驗電流的迴路，另一個是測量霍爾電壓的迴路，這兩個迴路不是平行而是交叉的。霍爾電阻是一個人為定義的「電阻」。奇數個的波腹發生在測量霍爾電壓的迴路中。之所以駐波兩端以導體邊界為界，是因為邊界恰好是均勻介質的邊界。話說到此。立刻產生了一個新的實驗設計和預言。製備一個霍爾器件，把原本留給測量霍爾電壓的埠直接用同樣的材料短路。這樣的霍爾器件工作時，原先作為「測量迴路」的閉合環路，產生了量子化的磁通量變化。在限制分數量子霍爾效應的分子等於1的前提下。磁通量變化的第一個階梯高度是h/2e，從第二個階梯開始，高度就是h/e。雖說是新的實驗設計和預言，但是必須承認早就宣布的分數量子霍爾效應實驗里，測量迴路也是有磁通量量子化的！這些量子化直接反映在霍爾電阻的經驗總結裡面。還說沒有確鑿實驗證據嗎？從霍爾器件的磁通量量子化，到超導的磁通量量子化，必須是一致的。在超導的實驗公布之前，我們通過分數量子霍爾器件迴路的磁通量量子化說明從第二個階梯開始出現h/e的事實。事實的前提是只看分數量子霍爾效應中分子為1的情況。------------回答問題的轉折線--------------超導磁通量量子化實驗也不例外。我們指出經典的磁通量量子化實驗實質只觀察了多個電子並行製造的磁通量階梯。當選用極少載流子超導材料進行磁通量量子化實驗，必然看見h/e階梯。從前都沒有把霍爾效應和磁通量量子化放一塊研究。一旦放一塊研究，結論不同凡響。
至今，針對超導雙電子導電的最有力證據就是磁通量量子化實驗。現在，經過以上揭發。我們指出經典的磁通量量子化實驗實質只觀察了多個電子並行製造的磁通量階梯。分數量子霍爾效應明確告訴我們還有h/e份額的階梯，它來自於單電子。古典的磁通量量子化解釋有誤。電子經過環路一圈，物質波相位絕對不是變化 pi 的偶數倍。相反地，費米子就該變化 pi 的奇數倍。量子力學基礎呀，不解釋那麼多。最後，原本證明雙電子超導的推理，實際證明單電子超導。不服咋地，拿證據而已。謝邀。太高深了，我目前的認識遠未到這程度。
瀉藥，我覺得 @安宇森 說的是靠譜的，大家給他點點贊，逼他出來更新公式
不確定你的問題，但局域的雜質效應或許能給你一些啟發：
https://www.youtube.com/watch?v=UNyNjZeG1wc( Integer and fractional quantum Hall effects: An Introduction)就是電子僅僅繞橫截面環流。
首先呢，什麼是霍爾效應，學過大學物理的人都知道
霍爾效應是指固體材料中的載流子在外加磁場中運動時，因為受到洛侖茲力的作用而使軌跡發生偏移
並在材料兩側產生電荷積累，形成垂直於電流方向的電場，最終使載流子受到的洛侖茲力與電場斥力相平衡
從而在兩側建立起一個穩定的電勢差即霍爾電壓。
目前現代汽車上廣泛應用的霍爾器件有：汽車速度表和里程錶、各種用電負載的電流檢測及工作狀態診斷
發動機轉速及曲軸角度感測器、各種開關，等等。因為霍爾效應的主要用在感測器這塊，所以這些通過感測器
現代化應用基本都是霍爾效應的連鎖應用。
舉例來說，用作汽車開關電路上的功率霍爾電路，具有抑制電磁干擾的作用。
許多人都知道，轎車的自動化程度越高，微電子電路越多，就越怕電磁干擾。
而在汽車上有許多燈具和電器件，尤其是功率較大的前照燈、空調電機和雨刮器電機
在開關時會產生浪涌電流，產生較大的電磁干擾信號。
採用功率霍爾開關電路可以減小這些現象。
霍爾效應的發現及應用為我們的生活帶來了極大的方便。摘自：大學專業介紹推薦閱讀：
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