如何理解哈密頓－雅科比方程？
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在最優控制（以及隨機控制、動態博弈等）里，也會出現類似的Hamilton-Jacobi方程。
一開始包括實際應用中提出的問題是這樣的：給定一個初始狀態，在一定的限制下，如何達到目的狀態同時使得消耗最小。這一般都可以化成解常微分方程的問題。
但是數學家不是這樣思考問題的：與其一個一個地解這個常微分方程，不如把所有的狀態看作一個空間，每點作為初始狀態時的最小消耗看作這個空間上的一個函數，然後這個函數必定滿足某種類型的HJ方程。（這裡有個很簡單但很基本的原理：如果你最終的選擇是最優的，則在這期間每一個中間步驟的選擇都是最優的）然後通過HJ方程的解我們就可以重新構造出那個常微分方程的解（對任意的初始狀態）。
經典力學差不多也可以用這種觀點看。實際上上面這個觀點我懷疑是從龐家萊起源的：即從單個的常微分方程轉變到對整個空間上的動力系統的研究。如何理解。。問題太寬了。。
數學角度，作為將偏微分方程化為常微分方程的一種方式，尋找初積分。
物理角度，就是經典力學了，作為尋找運動積分的普適方法。阿諾爾德的書不錯，可以一看。各種經典力學的教材也可以一看。泛泛地說，哈雅方程是想找到一個正則變換，讓變換後的哈密頓量是0，這樣正則坐標和動量都是守恆量。當然母函數就是要求的S
當然，像樓上說的那樣，哈雅方程在量子力學中和薛定諤方程有一定聯繫。至少形式上如此。當普朗克常熟趨於0時，薛定諤方程退化成哈雅方程，S對應于波函數的相位。
另外，解哈雅方程的常用方法是分離變數：加法形式的分離變數。而解薛定諤方程的常用方法也是分離變數：乘法形式的分離變數。再想到S（概率波的相位）再薛定諤方程中是在e指數上，S的加相當于波函數的乘，這兩個方程的關係就更有意思了～～～數學和理論（物理）還是有理解上的差距的。
這個方程是量子場論（場論）中描述物體能量與運動的方程，具體的項的含義是物理上的。
你的方程不是全面，是簡寫。
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