如何證明若兩個實數 a·b=0，則 a=0 或者 b=0?

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昨天指導弟弟解答一個三角函數函數求值問題，最後把三角函數化簡成了 ab=0 的形式，然後推出 a=0 或者 b=0，再解方程求解。我感覺 ab=0，可以推出 a=0 或者 b=0。a=0 且 b=0 是滿足 ab=0 的。雖然我知道從 ab=0，只能推出 a=0 或者 b=0，那麼怎麼證明呢？中文數學論壇或網站太匱乏了，看了一些英文的證明，沒有搞懂。希望看到更多的證明方式。

因為非零實數有逆

$a$ 可逆，兩遍左乘a的乘法逆元 $frac{1}{a}$

$frac{1}{a} imes ab=frac{1}{a} imes0$ ，任意元素與零元乘積為0

$b=0$ 證畢， $a=0$ 同理可證

和實數是什麼沒多大關係，只要在一個集合里有零元, 給它裝備乘法, 非零元皆可逆, 那都有這個性質...

作為對比，非零矩陣不一定有逆

所以 $AB=O$ 不能推出 $A=O ext{ or } B=O$

當然同樣的，明確了A可逆，那麼有B為O..

張工的答案再次離題萬里。。。

如果問，如何證明若兩個複數 a·b=0，則 a=0 或者 b=0

那種方法還怎麼證?

這就是域的性質。

實數環是整環，沒有零因子。

實數公理的一部分是實數構成一個域，簡單來說也就是對加減乘除封閉。當b不為0時，兩邊同乘以b的乘法逆元，得到a=0，因此b不為0則a為0，這等效於b為0或a為0

如果 $a e0$ 則等式兩邊同時乘 $frac{1}{a}$ ，於是 $b=0$ .

反證法唄……

這個問題沒有那麼麻煩，在實數構造的時候，我們說明了每一個非零元都有乘法逆元素。所以如果a≠0，兩邊同時成a^(-1)就結束了好伐。。

我感覺這個問題涉及到了乘法定義

對於實數而言兩個非零的數乘積一定非零

因為實數按照加法、乘法構成數域（這點很重要，在一般的有零因子環里所要證明的結論就不對了），由於實數去掉零按照乘法構成群，所以兩個非零元乘積仍在實數去零這個集合內，自然非零，所以乘積如果是零必然至少有一個是零，必要性得證，充分性顯然

對於樓上的回答，補充一些中學生能看懂的思路。

實數作為環沒有零因子，任何兩個非零元的積不是0。

實數作為域，任意非零元 $a$ 是乘法可逆的，存在 $a^{-1}ast a = 1$

那麼假設 $a$ 非零，等式兩邊同時左乘 $a^{-1}$ ，即得到 $1*b=a^{-1}*0=0$

同理可以證明另一種情況，這就得到了 $a， b$ 至少有一個為零的結論

不妨假設a與b非負，如果他倆都不是0，有調和平均小於等於幾何平均，即

sqrt(ab)≥2/(1/a+1/b)＞0，從而ab＞0。

而這個不等式是Cauchy-Буняковский-Schwartz不等式的特例……

上述論斷的前提是：在實數中已經定義了加減乘除，序，並且已經證明了實數的乘法是一個內積……所以貌似有點循環論證呢……

反對 @Patrick Zhang 的答案，張工的回答完全沒有證明題主提出的命題。即使最後說實數與有理數運算一致，也沒有解決根本問題，把題主的命題中的「實數」換成「有理數」，為什麼就正確了呢？。

要解決題主的問題很簡單，兩邊同時左乘1/a或右乘1/b即可。如果你一定要問我為什麼1/a存在，那我只能說實數構成一個域，具有這樣的性質。

鑒於評論過多無法一一回復，這裡更新一下，大家見諒。

不少人認為我是在「重複在一個輪子」，我要告訴你們的是，對這個問題來說，這個輪子還非造不可。我從來沒有說過，【所有問題】都要從最初的定義一步一步推導而不能使用中間結論，但【這個問題】非如此不可。因為題主問的就是「怎麼造輪子」，你不能回答「去商店買一個」。

----------以下原答案-----------

反對目前為止看到的所有答案。先說一下看到的回答及它們的問題。

1、考慮原命題的逆否命題：若a,b均不等於0，則ab不等於0。該逆否命題成立，故原命題成立。

這基本等於什麼都沒說。該逆否命題又為什麼成立呢？

2、設a,b不等於0，而ab=0，則a=ab/b=0/b=0，矛盾。

這是一個高中生想出的做法，應該說想法還是挺有意思的。但最後一步有問題：為什麼0/b=0呢？0/b=0的意思是說，非零的b只能與0相乘才等於0，這實際上已經用到了要證明的結論。

3、對任意非零實數a，a乘以1/a=1，所以……

別的不說……如何證明1/a的存在性？

4、因為R是一個域，從而是無零因子環，於是命題成立。

這個……結論倒是沒錯，但是不覺得邏輯反了嗎？是因為R滿足一系列性質，它才是個域；而不是因為R是域，所以它滿足一系列的性質。對於用這種方法的同學，我只想問一句：你們會證R是一個域嗎？

下面我來說一說我的想法。首先聲明，要嚴格證明這一點（R是域），需要從皮亞諾公理出發，按照自然數-整數-有理數-實數的順序一路定義下來並證明相關的性質。但這個過程過於繁瑣，所以此處略去。下面我只寫和本題有關的部分。此外，下屬證明需要用到實數的完備性和稠密性。這兩個性質的證明此處也略去。如果有同學認為有必要的話，我可以把上述略去的過程補上。

設a,b為非零實數，不妨設a&>0，b&>0。此時ab的定義為：

sup{xy: x&這裡sup表示集合的上確界，實數的完備性保證了這個上確界的存在性。

由實數的稠密性，存在有理數x和y使得

0&ab&>=xy&>0.

（這裡xy&>0用到有理數的乘法運算和序的定義。）於是命題的證。

順便說一下，設a是非零實數，1/a的存在性是因為，令

b=sup{c屬於Q: ac&<1}.

可以證明ab=1，從而1/a=b。

午休時刻，來解答數學問題。

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這個問題牽涉到實數理論。我們先建立預備知識。

第一個預備知識：關於實數數列的上界、下界、上確界和下確界

實數，對於中學生來說，無非就是有理數與無理數的統一體。但這個講法是很初略的，在實數理論中，會有一個比較嚴密的定義：對於一個有上界（下界）的實數數列，一定存在滿足上確界（下確界）定義的實數。

所謂上界和下界，指的是有界數列的最大數（最小數），並且這個最大數可以屬於數列集合，也可能不屬於數列集合。我們很容易看出，比上界（下界）小（大）的任何數都不是上界（下界）。

例如數列 $(frac{n}{n+3})$ ，這裡的n是自然數。我們發現這個數列有最小值1/4=0.25，另一方面，它無限地向1靠近，但永遠不會等於1，也即它不存在最大數。

由此我們知道，對於有界數列來說，它有無窮多個上界和無窮多個下界。我們把上界中的最小值叫做上確界，把下界中的最大值叫做下確界。

我們來看以下最常見的數列：

1.4，1.41，1.414,1.4142，……

這個數列的上確界是 $sqrt{2}$ ，它是無理數，並不屬於有理數的範疇。因此，如果僅僅從有理數來看問題，我們會發現上述這個有理數列的上確界是不存在的。

給兩個定理：

定理1：上確界（下確界）唯一性定理：設某數列集合E有上確界（下確界），則這上確界（下確界）是唯一的。

定理2：有上界的數列必有上確界，有下界的數列必有下確界。

定理2的推論：若{Yn}為單調增加的無界數列，則必有 $y_{n} ightarrow+infty$ ；若{Yn}為單調減少的無界數列，則必有 $y_{n} ightarrow-infty$ 。

第二個預備知識：關於有理數的分劃、實數的定義和運算，還有實數的分劃

首先給出有關分劃的定義：

將有理數分為A和A"兩類，使得：

（1）A和A"中都有數（這一點是必須的）；

（2）A"中的數永遠大於A中的任何一個數

這種分劃用記號A|A"來表達。

現在，我們來看3個例子，這3個例子與題主問題的證明有關：

第一個例子：凡是大於0的有理數均屬於A"，其它屬於A；

第二個例子：凡是小於0的有理數均屬於A，其它屬於A"；

第三個例子：凡是平方大於2的正數屬於A"，其它屬於A。

從這三個例子中我們可以看出幾種情況：

情況1：A中有最大數，但A"中必定無最小數。例如第一個例子。

情況2：A中有最小數，但A"中必定無最大數。例如第二個例子。

情況3：A中無最大數，A"中也沒有最小數。例如第三個例子。

我們規定，第一種情況不予考慮，於是只剩下第二種情況和第三種情況。

我們把情況2被稱為第一類分劃，情況3被稱為第二類分劃。

有了分劃的概念，我們可以看出，第二類分劃與無理數對應，而第一類分劃自然就與有理數對應。

第三個預備知識：實數的大小

第一：對應於有理數的分劃，其大小順序與它們所對應的有理數大小順序完全相同。

第二：設 $alpha=A|A$ ， $eta=B|B$ ，那麼 $alpha>eta$ 、 $alpha=eta$ 和 $alpha<eta$ 三者之間必有且只有一個成立。

第三：設 $alpha=A|A$ ， $eta=B|B$ ， $gamma=C|C$ 成立，且有 $alpha>eta$ 、 $eta>gamma$ ，則必有 $alpha>gamma$ 。

第四：設 $alpha=A|A$ ，與有理數r對應的分劃為 $gamma=R|R$ 。於是當 $rin A$ 時， $alpha>gamma$ ；若 $rin A$ 時，有 $alphaleqgamma$ 。

這四個定理與題主的問題直接相關，不過，證明我們就免了吧。

第五（實數的稠密性定理）：在任意兩不相等的實數 $alpha=A|A$ 和 $eta=B|B$ 間，必有無窮多個對應於有理數的實數。

第五個定理是最重要也是最有意思的定理。

我們知道，有理數域是稠密的。設A和B是兩個任意有理數，則 $C=frac{A+B}{2}$ 恆成立，也即任意兩個有理數中間還有有理數，進而說明了有理數域的稠密性。

然而在這裡，卻說任意兩個不相等的實數中間，必有無窮多的有理數。有點意思。

這裡可以引出兩個話題：

第一：無理數是稠密的嗎？

第二：有理數和無理數哪個更多？

我們看題主的問題：「如何證明兩個實數 a*b=0,則a=0或者b=0?」

我們來看實數的運算：

加法運算：

設 $alpha=A|A$ ， $eta=B|B$ ，把A"中的任一數與B"中的任一數相加，並且把結果歸入C"中，其餘的數歸入C中，於是集合 $C|C$ 構成了一個新分劃，我們稱它為 $alpha$ 和 $eta$ 的和，記作 $alpha+eta$ 。

我們很容易想到，在做加法運算時，負數是不可避免的。

我們設 $alpha=A|A$ ，將A"和A中的數改變符號，然後放到C和C"中去，這樣就構成了一個新分劃，也即 $-alpha$ 。

有了負數，我們就可以定義 $alpha-eta=alpha+(-eta)$ ，也即減法運算了。

現在，我們來定義乘法運算：

若 $alpha>0$ ， $eta>0$ ，我們把A"中任一數與B"中的任一數相乘，其結果放到C"中，其餘的數則放到C中，於是 $C|C$ 就構成了一個新的分劃，它就是 $alpha$ 與 $eta$ 的積 $alphaeta$ 。

在這裡，我們有如下規則：

$alphaeta=|alpha||eta|，當alpha、eta同時為正或同時為負；\=-|alpha||eta|，當alpha、eta之一為正，另一為負；\=0，當alpha、eta至少有一等於0時。$

注意：我們在這裡已經用實數分劃的原理解釋了題主的問題，也即當 $alpha$ 或者 $eta$ 中至少有一個數等於0時，它們的積為0。

不過，我只是證明了充分條件，未證明必要條件。事實上，必要條件很容易證明，但要利用實數除法的結論才行。此處從略。

倒數計算我們就省了吧。提醒一下：倒數運算與實數除法有關。

最後，實數理論證明了如下結論：

所有對於有理數的運演算法則，對於實數也是成立的。

這些運演算法則我就不再錄入，轉而用手寫方式呈現如下：

正是因為實數運算與有理數運算是一致的，因此題主也不必再為某乘數因子是零而擔心積是否也等於零。

說實在的，這個帖子寫得好麻煩：不斷有人和電話來找我，老是打斷。只好就這麼寫吧。若有不完善之處，請參閱任何一本《數學分析》的實數理論即可。

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提2個問題：

第1個問題：用分劃來證明： $(alpha+eta)gamma=alphagamma+etagamma$

第2個問題：若上式中的 $gamma=0$ ，用分劃證明等號右邊的結果等於0

此回答意在概括 @Patrick Zhang 的觀點，以及下面不包括實數構造證明的一些思想細節。

在我們建立如Dedekind分劃或者類似的構造方法時，我們一般都是在ZF(C)系統下，在有理數集 $mathbb{Q}$ 的構造基礎上來說明實數集 $mathbb{R}$ 的構造。此類構造意在表明的是：

定理 1. 實數集 $mathbb{R}$ 是一個序完備的域。

也就是說 $mathbb{R}$ 是一個有序域，而且有最小上界性質。雖然op的問題是比較trivial的，我們還是提一下，下面命題

命題 2. 對於實數 $a,binmathbb{R}$ ，如果有 $ab=0$ 則 $a=0$ 或者 $b=0$ 。

其實是說每一個域都是一個整環。證明也是純代數上的，所以下面一些答案是在說這個觀點：這個命題的證明和具體 $mathbb{R}$ 的構造無關，只要它滿足域公理就可以。

對於另外的構造方式，參考實數構造，分割，Cauchy序列，超實數，超現實數與整數。

如要參考一些標準分析里流行的實數構造方法，Cauchy序列構造可以在Terence Tao 的Analysis找到，分割在Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis里找到。

想要證明實數的性質，必須要問實數的定義。

有兩種比較常見的實數定義方法…

一種是用有理數構造。可以通過戴德金分割，或者柯西列的等價類，來定義實數。

這樣的話，就可以根據實數的構造和有理數的性質證明下來。

（有理數本身是由整數對的等價類定義出來的，整數由自然數定義，而自然數的性質由皮亞諾公理完全描述…至於自然數的存在性嘛…）

另一種，會丟出一堆公理（完備的有序域），把滿足這些公理的集合稱為實數。然後實數的存在性，可以通過證明有理數構造出來的東西滿足以上公理來保證。

在這個邏輯下，題目中的問題，是域的公理比較直接的推論。

（兩個定義的等價性，可以通過第二個定義的實數的唯一性得到）

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待續…

高中生的想法

ab＝0

若a≠0，則給方程兩邊同乘以1/a，可得b＝0；

若b≠0，則給方程兩邊同乘以1/b，可得a＝0；

則a，b中至少有一個等於0。

證畢。

怎麼天天都是這種問題...

這是知乎向quora致敬嗎？

分類討論，第一種，假設a不等於0，兩邊同乘a分之一得b等於0，滿足條件

第二種同上，假設a等於0，則0乘任意數都得0，則a等於0滿足條件

總結，a不為0且b為0時或者a為0且b為任意實數時為所求，將總結取並集，即為a或b至少有一個為0

書讀得太少，想得太多……

――――為了讓回答不那麼平凡的分割線――――

R，實數域。

域是整環，無零因子，乘法消去律成立。

a*b=0=0*a ，

故若 a≠0 ，則 b=0 。

P.S.開頭那句話其實是自嘲，題主不要在意……

如何證明 若兩個實數 a·b=0，則 a=0 或者 b=0?

如何證明若兩個實數 a·b=0，則 a=0 或者 b=0?