為什麼求導不從兩邊同時接近？

01-01

學渣...最近剛開始微分，微分的公式是dy/dx，求導的公式是f(x+h)-f(x)/h。
為什麼不用f(x+h)-f(x-h)/2h呢？這樣不應該更精確嗎？而且遇到圖像上尖尖的轉折的導數就不是不存在了吧。
不要噴啊...只是不明白

從左邊接近，定義出來的叫左導數；從右邊接近，定義出來的叫右導數。二者不一定相等。如果不相等，圖象上就會有一個尖點；如果相等，那麼它們跟從兩邊接近定義出來的導數是等價的。

實際上按題主的思路，應該用：

$frac{f(x+h_1) - f(x - h_2)}{h_1 + h_2}$

h1和h2都是可以變動的。題主的則是一個特例。導數的定義也是一個特例。

但是，由於：

$frac{f(x+h_1) - f(x - h_2)}{h_1 + h_2} =frac{f(x+h_1) - f(x)}{h_1} frac{h_1}{h_1 + h_2} + frac{f(x) - f(x-h_2)}{h_2} frac{h_2}{h_1 + h_2}$

所以這個表達式總是位於左右導數之間，如果導數存在，則這個表達式極限也存在，而且收斂到相同的值。反過來由於導數是這個極限的特例，也有相同的效果，所以這兩個定義等價，既然等價，導數只有一個變數，而這個定義有兩個變數，當然選簡單的一個。

補充一下具體過程：

當 $0 < h_1 < H_1, 0 < h_2 < H_2$ 時，記 $Delta f(x, h) = frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ ，有

$minleft(Delta f(x, h_1), Delta f(x, h_2) ight) le Delta f(x, h_1)frac{h_1}{h_1 + h_2} + Delta f(x, h_2) frac{h_2}{h_1 + h_2}$

$maxleft(Delta f(x, h_1), Delta f(x, h_2) ight) ge Delta f(x, h_1)frac{h_1}{h_1 + h_2} + Delta f(x, h_2) frac{h_2}{h_1 + h_2}$

而

$minleft(Delta f(x, h_1), Delta f(x, h_2) ight) ge inf_{-H_1 le h le H_2}Delta f(x, h)$

$maxleft(Delta f(x, h_1), Delta f(x, h_2) ight) le sup_{-H_1 le h le H_2}Delta f(x, h)$

當導數存在時，上下確界的極限相等且等於導數值，由夾逼定理可以得到原式也收斂且極限等於導數值。

題主的定義則是有缺陷的，因為沒有什麼理由導數一定要左右同步地逼近，題主的定義其實等價於左右導數的平均值，這沒有什麼實際意義，為什麼要定義是平均值，而不是左導數 * 2/3 加右導數 * 1/3呢？

實際上這個定義還可能會導致很嚴重的問題，我們來考慮狄利克雷函數，它在有理數上值為1，無理數上值為0。考慮任意一個有理數點，我們知道，如果x-h為有理數，則h為有理數，x+h也為有理數；如果x-h為無理數，則h為無理數，x+h也為無理數。這意味著始終有 $f(x+h) - f(x-h) = 0$ ，這樣按照題主的定義會得出任意一個有理數點上導數都為0，可是這個函數處處不連續啊！

你的定義不但不會更精確，而且會產生錯誤。我來構造一個明顯不連續的函數卻符合你的「可導」：構造函數f使得它在0點等於1在非零點等於0。那麼這個函數按照題主的定義是在0點「可導的」並且導數為0，實際上它連連續都不是。下面是詳細的證明：

證明：對於任意 $h>0$ , $f(0+h)=f(0-h)=0$ .因此， $f(0+h)-f(0-h)/2h=0$ .取極限，我們按照你的定義，可以證明這個函數是「可導」並且等於0.可是這個函數在0點連續都不是。

類似的邏輯可以推導出，任何在0點對稱的函數都在0點可導，連續性反而丟失了。

首先，定義式里的h從來沒人說一定是正的。

所以原始的定義本身就包含了兩邊的逼近。

而f(x+h)-f(x-h)/2h這種事實上挖掉了x點，可以看作一種較弱意義下的導數的推廣。

這麼定義當然不是不可以，但是有可能會發生蛋疼的事情……

比如考慮這麼一個函數：f(x)=-x when x&<0,f(x)=2x when x&>=0

在正常的定義下，f在0點是不可導的，但是在題主的定義下，0點處導數存在且為0.5

然後?問題是0點是極小值點啊，特么求出來導數居然是正的，不覺得很蛋疼嗎……

為什麼不用f(x+h)-f(x-h)/2h呢？這樣不應該更精確嗎？

這裡是做定義以便鋪後面的其他數學分析

實踐上的數值差分又是相關但是不一定相同的另一回事

@王贇 Maigo已經說的非常簡練明了了，贊一個。我歪個樓，樓主你說的那個方法恰恰經常用來做gradient check。在該點導數不存在時仍然可以給出一個該點導數的估計值。偏題了，樓主請注意一下，某點導數存在需要其左導右導同時存在且相等，在工程上可以做近似猜測，但數學容不得絲毫感性猜忌和不嚴謹。其實樓主這個問題提得很不錯，多思考提升會很大，加油！

求導數是固定一個點，另一個點在曲線上接近它，即由割線斜率趨近於切線斜率的過程。

第一種定義固定了點「x」(定點)，h可正可負，確定的割線交曲線的另一個點(動點)；正就是從右趨近(右切線斜率)，負就是從左趨近(左切線斜率)。

第二種定義，割線兩端都是「動點」了，從 @dhchen 給的那個例子可以看出這一點，本想求導數的中間的那個點是被挖去了的，可以連定義都沒有。

從定義上講題主的定義是不正確的。然而如果導數真的存在，計算上上往往用題主給出的式子，因為相對更接近真實值。

也就是說，如果你默認這個函數可導，這麼做無可厚非；如果這個函數不一定有導數，這個做法就會出錯

Lz給的定義仔細看是不要求f在x有定義的，如果假設f在x連續感覺兩個定義是等價的