為什麼均值不是對任何隨機變數都存在？

01-01

隨機變數就是可測函數，期望就是積分。存在不可積（積分不收斂）的可測函數不是很正常么？

數學界有一種膜法，叫做pathological～

然後我記得這個事兒在cross validated (統計的stackexchange) 上有一個基於Huygens" principle的很形象的物理解釋，鏈接在這裡mathematical statistics

例如：Cauchy distribution

p(X=2^n)=1/(2^n),n為正整數。

E(X)=???

其他答主說了哪些隨機變數會不存在均值。我來不嚴格地補充一下，如果沒有均值，那麼它的「均值」到底長什麼樣。考慮任意一個隨機變數 $X$ ，和一個由 $X$ 夠成的 i.i.d 隨機變數序列，記作 $X_1,dots,X_n$ 。求均值的過程可以不嚴格地看作 $lim_{n oinfty} frac{1}{n}sum^n_{i=1}X_i$ 。在現實操作中，比如 matlab 裡頭獨立地取 10,000 個符合相同高斯分布的樣本，加和平均，往往已經能很好地落（收斂）在一個確定的數字（均值）附近，如果樣本數量取更大，你會發覺加和平均會落在同樣的那麼一個數字（均值）附近，而且更近，也就是加和平均的不確定性（方差）更小。

以概率 1 收斂的角度看，均值存在的條件是

$exists mu, lim_{n oinfty}frac{1}{n}sum^n_{i=1}X_i stackrel{p.}{=} mu_X$

用人話說，如果你的實驗能有無窮多個獨立同分布的樣本，他們的加權平均一定一定（概率 1）是 $mu_X$ 。注意 $mu_X$ 是一個確定的數。

不少答主提到了柯西分布，那麼我們就繼續到 matlab 上做關於柯西分布的實驗。你會發覺，無論你 $n$ 取多大，樣本的加和平均死活沒有向某個數趨近的意思。這不是收斂慢的問題，如果你對 $n=100$ 多做幾次實驗，計算實驗結果的方差，再對 $n = 1000000$ 多做幾次實驗，計算實驗結果的方差，你會發覺 $n$ 的大小是不會影響方差的值的。

記柯西隨機變數為 $C$ ，那麼同樣從依概率 1 收斂的角度看，

$lim_{n oinfty}frac{1}{n}sum^n_{i=1}C_i stackrel{p.}{=} C$

用人話說，符合柯西分布的隨機變數的「均值」不再是個確定的數，而是另一個隨機變數，而且這麼個隨機「均值」依舊符合柯西分布 XD.

當然還存在某些隨機變數，均值在 $infty$ ，這是另一種不同的均值不存在的方式。手頭暫時沒有例子，見諒:)

以下內容是一開始寫的廢話，感覺表述不清，但不捨得刪。。。

如果我們把樣本的加和平均看作另一個隨機變數 $M_n$ ， $n$ 是該實驗中，獨立同分布樣本的數量。根據中心極限定理，隨著 $n$ 增大， $M_n$ 的 pdf （概率密度分布）會越來越「像」（依分布收斂）一個高斯隨機變數的 pdf，均值和 $X$ 的均值 $mu_X$ 一樣，方差會隨 $n$ 增大而變小，這裡唯一需要的前提條件就是 $X$ 的均值存在。那麼當 $n$ 無窮大的時候， $M_infty$ 的 pdf 就是一個被壓得無窮窄的高斯 pdf，均值為 $mu_X$ ，方差為 $0$ 。 $M_infty sim mathcal N(mu_X, 0)=delta(m-mu_X)$ 。

換句話說， $M_infty$ 已經變成了一個常數隨機變數，因為它的概率密度全部集中在 $mu_X$ ，其他地方的概率密度皆為 $0$ 。

比如說，對於連續型隨機變數，均值定義為自變數與密度函數乘積的廣義積分，而且要求該積分絕對收斂，正是積分收斂的不確定性，就可以產生很多不存在均值的隨機變數。如樓上提到的隨機變數和柯西分布。