運算元代數是一門怎樣的數學分支？學習運算元代數需要怎樣的基礎？
作為一門交叉性很強的學科，是否幾乎所有基礎數學的內容都要會？還有物理背景是否也需要了解？
PS：問細一點好了，如果是C*-代數分類這部分，入門需要多少準備？
運算元代數這個方向分支很廣，應用也很多，但如 @千本所說，只需要泛函分析做基礎就足夠了，用到什麼學什麼也來得及。
但是運算元代數的應用角度很多，所以讀哪些書最好先確定目的。一般來說，現在很多人學習運算元代數一是為了數學化量子力學和量子場論， 二是研究非交換幾何。不同的目的決定了你從那方面入手。純粹的運算元代數研究的人不多。
學過泛函分析的話你就可以讀懂這樣一句話：「對於希爾伯特空間上的有界線性運算元，我們可以做加法，做乘法（也就是運算元的複合），還可以做數乘。所以所有有界線性運算元的全體構成了一個代數。而運算元代數這門學科就是要研究這個代數的子代數的性質。」
為什麼要研究它呢？因為這個代數有個很好（cha）的性質------它是不交換的。最簡單的，有限維空間的有界線性運算元是矩陣，就是不交換的。量子力學剛剛開始的時候，大家就發現很多可觀測量是不可交換的，如果想用數學模型來描述可觀測量，就需要找到一個非交換的代數。在當時的時代，大家能找到的唯一的非交換代數就是矩陣代數，然後大家就happy地用起來了。慢慢地，矩陣不夠用了，大家需要用到無窮維的矩陣，而無窮維矩陣並沒有堅實的數學基礎。怎麼辦？天上掉下來個 馮諾依曼。36年到43年，馮諾依曼寫了一系列文章來研究這件事情。題目很直白，就叫做「On rings of operators (I, II, III, IV)」， 順便還寫了本書叫 「量子力學的數學基礎」。這幾篇文章奠定了運算元代數這個學科的基礎（原諒我忽略了Jordan, Murray 等奠基者，馮諾依曼太耀眼了），很值得讀一讀，但讀起來不太容易，因為語言和工具比較古老，我們可以先學些基礎再去瞻仰。
就現在的運算元代數來說，入門不需要物理背景。大家主要關心的是兩類子代數：C* 代數（為什麼不叫蓋爾芳德代數呢？） 和 馮諾依曼代數。一本不錯的參考書是
Blackadar Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.作者主頁上有電子版就我個人而言，更喜歡的是Dixmier 的兩本磚頭：C*-algebra 和 von Neumann algebra。只是這兩本太厚，而且有點古老，基本是Allan Connes 之前運算元代數的總結，可以當字典翻翻。（當然，這三本我都沒讀完）
對於C* 代數來說，我們碰到的第一個大定理是：對每一個交換C*代數都存在一個仿緊拓撲空間使得這個代數同構於空間上所有連續函數的全體組成的代數。交換C*代數的集合和仿緊拓撲空間（一點點點集拓撲還是需要的）的集合是一一對應的。然後我們就可以通過研究交換C*代數來研究拓撲。如果代數這邊推廣到一般的非交換代數，我們就可以把另一邊推廣到非交換拓撲空間（是不是聽起來很高大上？）。這就是非交換幾何的一個起源。如果你懂一些拓撲K理論，（不懂也沒關係，可以現學）我們就通過這個關係將K理論推廣到了C*代數的K理論。（兩個K理論沒啥不一樣的甚至有些人把C*代數K也叫做拓撲K也叫運算元K, 把代數K的名字給了一般環上的K理論（好難好難的））
所以從某種意義上來說，C*代數是一個拓撲理論。
對應的，馮諾依曼代數是一個測度理論（需要一點點測度論基礎，比如什麼是Haar測度，當年馮諾依曼就是照著Haar測度搞出來的）。粗略來說按照trace 函數的值（記得馮諾依曼代數是矩陣代數的推廣，這裡的trace 也相當於矩陣trace的推廣）可以將馮諾依曼代數分為三類， I, II 兩類對應 trace是0 和有限實數，還好，第三類對應trace 正無窮，很難很難（Connes 就是分類這個東東得了fields）。在connes 的那本「非交換幾何」里不同類別的馮代數對應了 葉層結構 (foliation) 是不是有好的測度。
看到這如果你不專門做運算元代數方向的研究，我想基本也就夠了，如果做了這方向，下一步就要去問自己的老師，畢竟分支這麼多，找一個紮下去才是根本。泛函分析足矣。幾乎所有學科都要用微積分，那學微積分的時候是否幾乎所有基礎數學的內容都要會？其實是一個道理，非交換幾何大概才算真的需要很多基礎的東西。
分析上說，運算元代數本質上是把空間上連續函數的測度理論推廣到非交換的情形的一種理論，至少C*代數是這樣的，交換的C*代數按照Gelfand變換都會同構於其極大理想上的連續函數。
幾何上這表徵了其譜空間的幾何性質，這個用代數幾何的話說就是點函子是可表的。把橢圓運算元指標用幾何量計算的AS指標定理就是這樣，把其上C*代數的代數K理論同構為拓撲K理論得到的，非交換幾何就是靠C*代數來搞非交換性的。物理背景當然會是有幫助，不過有幫助的「物理背景」基本上都會是數學家寫的，主要是GNS構造和量子力學的關係《An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics》by F.Strocchi ，Ola Bratteli的Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics。大多數量子力學的書是講譜理論的，或許也算一點運算元代數？
物理學家寫的書和數學家寫的關注點完全是不同的，數學家的書關注點在諸如GNS不可約表示、Stone-Von Neumman唯一性定理、自伴性、譜分解、連續譜、波運算元存在性之類。物理書關注點在計算方法，說實話我見過的一堆人根本連能譜有連續的都不知道……在物理學的應用，經典的上面提到了，von Neumann和後來Gelfand Naimark Segal的工作最近幾十年（30大概）的直接應用一個是代數場論algebraic qft，公理化場論的一個方向，是GNS思想（以可觀測量構成的代數為本）在qft的直接運用，一個很好的survey可見http://arxiv.org/abs/math-ph/0602036另一個直接應用是非交換幾何（非交換場論什麼的http://arxiv.org/pdf/hep-th/0106048.pdfQAQ完全不懂）這兩個（據我所知）對理論物理的影響不大，困難也很多（在共形場論中就是conformal net了，這個應該是最近才開始發展的，窩個人比較喜歡。。。。）哦還有數學物理裡面Jones的A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra
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