到底應該怎麼樣正確理解DFT（離散傅里葉變換）？

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包括DFT的長度，頻率解析度等等，尤其是做N點DFT，到底N點DFT是要對x(n)幹嘛？

傅里葉變換，是一種數學的精妙描述。但計算機實現，卻是一步步把時域和頻域離散化而來的。

離散化也就是要抽樣。我們知道，時域等間隔抽樣，頻域發生周期延拓；頻域抽樣，時域發生周期延拓。那麼要得到時域頻域都離散的結果，顯然時域頻域都要抽樣。周期延拓怎麼辦？只取一個周期就行了。

總結一下：

第一步，時域離散化，我們得到離散時間傅里葉變換（DTFT），頻譜被周期化；

第二步，再將頻域離散化，我們得到離散周期傅里葉級數（DFS），時域進一步被周期化。

第三步，考慮到周期離散化的時域和頻域，我們只取一個周期研究，也就是眾所周知的離散傅里葉變換（DFT）。

這裡說一句，DFT是沒有物理意義的，它只是我們研究的需要。藉此，計算機的處理才成為可能。

剩下的問題就是你說的以怎樣的頻率抽樣，DFT取多少長度什麼的了，具體可以去讀一讀《深入淺出數字信號處理》這本書，偏重物理意義上的理解，而不是堆砌數學公式。不推薦程佩青的《數字信號處理》，論文一樣的語言，典型學院派。

我也曾經被這個問題苦惱很久，多次看《數字信號處理》的內容，結果是對連續傅里葉變換還是能夠稱得上理解，但是離散序列的變換實在是沒法看懂，深深地覺得我這種智商不能再學這個，於是果斷換了個專業

傅里葉變換將連續信號 $x(t)$ 變換到頻域 $X(j omega)$ ，一些在時域難以處理的問題在頻域就很好解決（比如對濾波的理解，信號調製）。

簡單地說，離散傅里葉變換就是傅里葉變換的離散形式，只不過是將 $x(t)$ 離散化成為 $x(n)$ ，頻譜 $X(j omega)$ 相應的離散化為 $X(k)$ ，這樣就能夠使用計算機處理了。

當然嚴格意義上的數學還包含其他內容，比如採樣率要求，DTFT，積分核的選取等等。可以慘嚎程佩青的《數字信號處理》。

為了計算機的實現，只能是時域離散有限對應頻域離散有限，然後這個定義就是dft。