自然數k次冪的前p項和的模p性質？

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謝邀。

我習慣用抽代的語言來講，因為我高中沒怎麼學過數論，所以對初等數論的那一套等價的語言不是很熟悉。

注意到{1,..,p-1}就是有限域 $mathbb{F}_p$ 的乘法群，這是一個循環群，設a是其中一個生成元（在數論裡面可能叫原根？），也就是說{1,a,a^2,...a^{p-2}}構成模p的一個簡化剩餘系。那麼：

$sum_{n=1}^{p-1} n^k=sum_{i=0}^{p-2} a^{ki}=frac{1-a^{k(p-1)}}{1-a^k}$ ,這裡所有的等號都是模p意義下的同餘，注意：第二個等號要成立，實際上要求分母1-a^k不被p整除，也就是說1-a^k在 $mathbb{F}_p$ 里可逆。根據費馬小定理，1-a^k被p整除當且僅當 k被p-1整除（這裡也要用到a是原根）；

當k不被p-1整除時，上述和式同餘於0，因為分母可逆，而分子 $1-a^{k(p-1)}equiv 0 mod p$ (還是費馬小定理)；當k被p-1整除的時候，依然根據費馬小定理，每一項都同餘於1，所以和式同餘於－1.