一條處處連續卻處處不可微（換言之具有分形性質）的函數曲線是否存在一種更廣義的導數？

謝邀，我覺得下次提問，最好說明自己的數學水平，不然我都不知道要寫到什麼水平。其實這和分形真的沒什麼關係。也遠遠超越了微積分，進入了泛函分析的領域。

• 這個問題其實涉及到所謂的「廣義函數」(distribution)，一個連續函數肯定有廣義函數意義下的導數，定義方式為：設,是上光滑而且非零點是一個其中的有界閉集所有函數構成的集合。 如果是一般意義上的光滑，那麼下面的積分公式成立。

對於一般的連續（可積甚至更差的函數都可以），我們定義其導數為一個「泛函」，也就說可以把一個上的函數映射成一個數的連續線性運算元，具體表達式為

.

舉一個栗子， 設和設定義為在定義為1，在別的地方為0，那麼這個不連續的函數的導數為.這個泛函已經不是一般意義上的函數了，因為它沒有局部的定義。

• 如果一個函數是足夠好的，它的廣義導數和古典導數是一摸一樣的。
• 對於一維的情況，可以通過學習絕對連續函數來刻畫。還有如果它的廣義導數剛好是可積的函數，那麼這個函數就是所謂的索博列夫函數。
• 徹底明白上述內容涉及到泛函分析，一般是數學系三年級的內容了。
• 這些廣義導數不是無意義的數學概念，物理上的狄拉克運算元就是一個泛函，而量子力學裡面泛函無處不在。
• 如果要學習泛函分析的童鞋可以進我的專欄文章，裡面有教材的推薦和學習的基本思路。