帶限信號一定不是時限信號嗎？

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如圖，岡薩雷斯《數字圖像處理》中關於這個問題的注釋是什麼意思？這種關於周期函數的情形怎麼沒見過？

這涉及到一個傅里葉分析中的基本定理,這個定理大家都叫他"模糊版本的測不準"

一個函數(分布)和它的傅里葉變換不可能同時具有緊支集

至於這個叫做測不準的原因,有模糊版本就會有精確版本嘛,精確版本是這麼說的

結論的形式和測不準原理是一模一樣的.事實上他們說的是同一個事情,即

同樣的東西從兩個方面去看,方差不可能同時很小

一個信號不可能既是時限的，又是帶限的（當然信號恆等於0時除外）。

下面給出一個通俗易懂的證明：

設信號 $x(t)$ 是時限的，它的頻譜 $X(omega)$ 是帶限的。

考慮 $x(t)$ 的離散時間傅里葉變換，採樣周期為 $T$ 。

這相當於在時域對 $x(t)$ 周期性採樣得到 $y(t) = sum_{k=-infty}^{+infty} x(kT) delta(t-kT)$ ，

在頻域把 $X(omega)$ 周期性重複得到 $Y(omega) = sum_{k=-infty}^{+infty} X(omega - 2pi k/T)$ 。

由於 $X(omega)$ 帶限，只要採樣周期 $T$ 足夠小， $Y(w)$ 中相鄰兩個 $X(omega - 2pi k/T)$ 疊加時就可以不重疊，在它們之間就會有一段區間 $[omega_1, omega_2]$ ， $Y(omega)$ 在此區間內恆為0。

$Y(omega) = sum_{k=-infty}^{+infty} x(kT) , ext{e}^{- ext{i} omega kT}$

由於 $x(t)$ 時限，上面的和其實是個有限和，方程右邊是個關於 $ext{e}^{- ext{i} omega T}$ 的多項式。

因為對於任意的 $omega in [omega_1, omega_2]$ ，這個多項式都等於0，也就是說這個多項式有無窮多個零點，那麼這個多項式的所有係數 $x(kT)$ 都只能為0。

而 $T$ 是在一定範圍內任取的，對於任意 $t$ ，總能找到 $T$ ，使得 $t$ 是 $T$ 的整數倍，所以 $x(t) equiv 0$ 。

所以不存在不恆等於0的、既時限又帶限的信號。

一句話解釋：

時限就是加窗嘛，時域加窗等於頻域卷積sa函數，自然是無限的啊。

是這個注釋用了不太嚴格的表述而已——嚴格來說就是錯的。他實際要表達的大概是因周期性而存在的某種特殊性質，而不是一般性的時限-帶限關係。

通俗的來說就是一個函數跟他的傅里葉變換不可能同時擁有緊的支集

這是個老定理了，書上怎麼整的我早忘了，我大概想想，假如說f是帶限的，那麼f一定可以表示成一連串sinc函數的和。這時候如果f是時限的，那麼f一定可以表現成有限個不同的sinc函數的值,畢竟在支集外面那些採樣點就都是0了。這簇有限個sinc函數加起來想想也不可能是有緊支集的，不過這個證明可能並不是那麼的。。。顯然。畢竟sinc不是sin，不過我覺得應該也不難就是了。

Paley-Wiener theorem

帶限函數同增長率小於指數的解析函數有對應，而解析函數零點是可數的。