如何理解拓撲同胚但微分不同胚？

字面上理解，但整體上還是不太明白。能否更加直觀的解釋呢？把一種微分結構下的可微函數拓撲同胚映射過去，又是什麼樣子呢？

把一種微分結構下的可微函數拓撲同胚映射過去，又是什麼樣子呢？

這是個極好的問題。感覺你問到點子上了。拓撲同胚但是不微分同胚本質上就是在一個拓撲流形上有兩種指定函數的方法（每個開集到歐氏空間的開子集的同胚都指定了那個開集上的全部函數，就是在歐氏空間中的開子集上的那些函數），然後有一些微分拓撲的不變數說明這兩個東西不相容。

如果對復變/復幾何/代數幾何感興趣，也會學到這個事實，就是（實）二維環面上儘管只有（同構意義下）唯一的微分流形的結構，但會有不同的復結構。這個理解起來也有類似的困難，我就用這個解釋吧。作為微分流形的底空間是一樣的，但是 「哪些（光滑）函數是全純函數」 這件事情，對不同的復結構，是不一樣的。同樣的，哪些微分是全純微分，對於不同的復結構也是不一樣的。所以對不同的復結構，有不同的微分1-形式，是環面上的全純微分（所有的一階全純微分構成一個一維向量空間，所以基本上是唯一的）。環面的基本群，有兩個生成元, 可以用來對每個復結構計算一對複數——對有, 對有, 如果這兩對複數不是太巧合，經過仔細研究就能看出兩個復結構不可能同構，甚至可以證明不存在全純映射使得, 這是為什麼呢？

第一反應，這太簡單了，微分形式的拉回不改變積分的數值，如果這兩個複數對不同，就不存在復結構的同構。但這是錯的。因為底空間的同構可能把的生成元映射成另外兩個生成元，那積分就變成了在另外兩個生成元的代表類上做。由於（非典範地同構），所以另外兩個生成元肯定是這種形式，且. 所以如果這兩個複數對在差一個的作用下也不相等，這兩個復結構就不同。

但是這種想法還有一個漏洞，即證明了不存在使得, 也還有拉回以後的全純微分形式是另一個微分形式的倍數的可能性，也就是還有一個的一個作用。所以正確的做法是以作為復結構的不變數——或者說，選取的時候，由於可以乘以一個任意的常數，不妨加上一個條件，要求, 則只需要關心. 這是一個複數，且不落在實軸上。

最後，我們可以通過選取的次序，讓這個複數落在上半平面上。這個要求排除了中行列式為 -1 的可能性，所以只剩下作用在這個比值上，保持落在上半平面這個特性。這個作用就是.

所以，對環面上任意的復結構, 我們可以算出它在上半平面里的一個不變數, 這個不變數在差一個的作用下是唯一的。這就是一個全純結構的不變數說明兩個微分同胚的東西復結構不相容。