如何通俗易懂地解釋外微分？

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謝邀。

「梯度」這個概念很多人大概能理解，但是梯度其實是比外微分更「上層」的一個概念。為什麼這麼說呢？因為只要有微分結構就有外微分，但是要定義梯度則需要有度量結構，或者說內積結構如果我們只考慮向量空間的話。在黎曼流形——如果你不知道什麼是黎曼流形，那就想像一個內積空間或者直接假設 $mathbb{R}^n$ 就行了，梯度 $abla f$ 和全微分 df 互為對偶，也就是說 $< abla f,X>=df(X)$ 。從這個角度來說，你把全微分 df 看成梯度就行了。

當然這個只是函數的外微分，如果是對更高階的微分形式的外微分呢？在 $mathbb{R}^3$ 裡面，還是按照我上面提到的對應——實際上就是各個分量的對應，1形式的外微分對應旋度，2形式的外微分對應散度，3形式的外微分＝0 因為3維空間裡面沒有4形式。所以在這種語言框架下，你就可以看到 $mathbb{R}^3$ 里的狹義Stokes公式以及高斯散度定理都不過是廣義Stokes定理的特例： $int_{partial D}omega=int_Ddomega$ 。

當然我這麼說肯定會有人說不嚴格，但沒辦法，既然要通俗易懂那我只能犧牲嚴格性；要嚴格定義外微分，你得先定義微分形式，那還得先定義流形上的餘切叢。。而且梯度和全微分在坐標分量上的簡單分量對應僅僅是對 $mathbb{R}^n$ 上的標準內積成立，如果不是標準內積還得乘係數矩陣。但這些對於想要一個通俗易懂的答案的人來說大概都不重要了，很多人腦子裡向量空間自動等同於 $mathbb{R}^n$ 帶點積作為內積，你要跟他說向量空間也可以帶其他正定二次型作為內積，也可以不帶內積，他估計像看外星人一樣看著你，不知道你想說什麼。

當然再通俗易懂，也得學過多元微積分才能看懂外微分。沒學過微積分或者學過但是忘了的人，你們說不懂我也沒辦法了。。再通俗也得有個基本的門檻吧。。

外微分，就是一個區域和它的邊界的一個對應。。

微積分基本定理【牛頓萊布尼茲公式】我們都知道，把一段直線區域上的積分對應到了這段直線的端點上。。同樣的，格林公式把一個二維平面區域上的積分對應到了這個區域邊界上，高斯公式把一個三維體積對應到了這個區域的表面上。。總之，在外微分之前，我們就已經熟知了這個「區域和其邊界的對應」。。

剩下的就是如何恰當地描述這個對應了，以及如何把上述對應推廣到任意緯度的空間和不同的坐標系統上【流型】，於是我們就找到了這個多重線性反對稱的外微分。。

通俗：放到平凡流形或者局部坐標系下去看看它的樣子。

直觀：放到物理實例中去看看它的物理意義。

外微分形式是啥？是定義在切空間上的反對稱多重線性函數。

反對稱多重線性函數是啥？在R^n上你可以把它視作n個向量確定的有向體積。

切空間是啥？你可以把它視作某點處的無窮小鄰域。

三個問題之後，答案顯而易見：外微分形式度量了流形某點附近體積微元的有向體積。

PS：話說能不能真的把p處的切空間定義成。。所有p的開鄰域組成的基(類似濾子基那種基)。。雖然我不太懂這樣定義怎麼構成線性空間。。

從剛上大學就被陳先生反反覆復地灌輸外微分，自己也花了差不多十年的時間去理解它，但最後，我發現所謂的外微分其實不是微分，而是積分。外微分只是積分換了個衣服而已。

http://kexue.fm/search/外微分/

你可以去看看龔昇的《簡明微積分》

首先理解任意維的有向體積是各緯度的外積(反對稱積)。這是體積可加性或者乘法分配率成立的要求。

然後外微分就是微元的外積，就是微體積元了。

謝邀。實在慚愧，我只知道外微分可以怎麼用但不知道它的數學意義。記得第一次接觸外微分是在武際可老師寫的彈性力學引論，學到了用外微分表示的stokes定理，並對其推崇備至，當時從線積分到面積分是用stokes公式和格林公式，從面積分到體積分是用高斯公式，而這些公式里的偏導順序當時讓我很頭疼，總是記不住。在外微分定義了微分的次序之後，這些問題變迎刃而解，這便是stokes定理，這簡直就是神一般的存在

謝邀。。。但是我不懂。。好像以前大一的時候看過。。。？

是斯托克斯公式那套東西嘛