傅立葉級數和傅立葉變換是什麼關係？

01-01

粗略地說，Fourier級數是緊緻Abel群上的Fourier變換，這一情形比一般的局部緊的情形更好處理。如果 $G$ 是一個緊緻的Abel群，那麼 $G$ 的Pontryagin對偶 $widehat{G}$ 是離散的，因此 $widehat{G}$ 上面的Haar測度就是計數測度，這時積分就變成了求和，Fourier逆變換可以寫成求和的形式，也就是Fourier級數。

結合自己的理解寫點。

這個帖子分三個部分，第一部分為怎麼從傅里葉級數推導出傅里葉變換，第二部分為兩者的聯繫 ~~第三個為通過傅里葉級數求取傅里葉變換的例子。

不好意思我update了，後面還加了一些內容。

[19/04/2017] 看到大家繼續點贊，那我再加點有關傅立葉級數的理解吧，本應當放到第一節，但是因為公式都編號了，不想改了。

正交函數基的概念
傅立葉級數和正交多項式級數
正交多項式和泰勒級數展開
正交概念、級數展開在工程中的應用
【19/04/2017】傅立葉級數的直觀理解

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傅里葉變換的由來

傅里葉級數適用於周期信號中，下面給出其表達式：

$ilde{x}(t) =sum_{k=-infty }^{+infty }{a_{k}e^{jkomega _{0} t} }$ (1)

$a_{k} =frac{1}{T} int_{-T/2}^{T/2} ilde{x}(t)e^{-jkomega_{0}t }dt$ (2)

周期的意義在於限定傅里葉係數的積分公式 (如(2)所示) 的積分上下限，把公式(1)代入到(2)中可以發現，(2)式子左右恆等，其中利用到了e指數的正交性。

那如果是非周期信號呢？公式(1)中的 $omega _{0}$ 都已經不存在了（或者說是無窮小），此時時域信號便不可能寫成如式子(1)級數的形式。但數學家們不甘心啊，如果把傅里葉只限定在周期信號，世界得多無趣啊。好，那就試著能不能重新定義非周期信號的傅里葉變換呢？數學家們思索著，這兩種信號的區別在於一個是有固定的基頻，另外一個基頻無窮小。哎，等等？好像靈感來了，無限小的求和概念不就對應著積分嘛！那我們就嘗試這能不能從這個角度來推導出非周期信號的傅里葉變換呢，好的，那我們試試吧。

考慮上述兩個信號， $ilde{x}(t)$ 對應為 $x(t)$ 的周期延展。對於 $left| t ight| leq T/2$ , 有 $x(t)= ilde{x}(t)$ 。對於周期信號 $ilde{x}(t)$ ，對應的傅里葉係數為

$a_{k} =frac{1}{T} int_{-T/2}^{T/2} ilde{x}(t)e^{-jkomega_{0}t }dt =frac{1}{T} int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jkomega_{0}t }dt =frac{1}{T} int_{-infty }^{+infty }x(t)e^{-jkomega_{0}t }dt$ (3)

現在定義 $X(jomega )$ 為 $Ta_{k}$ 的包絡，其中的 $komega _{0}$ 用 $omega$ 來代替，注意，此處的定義只是一個notation的變化，沒有改變方程任何的東西

$X(jomega )= int_{-infty }^{+infty }x(t)e^{-jomega t }dt$ (4)

顯然， $a_{k}$ 只是 $X(jomega )$ 的等間隔採樣

$a_{k}=frac{1}{T}X(jkomega _{0})$ (5)

注意，把傅里葉係數表示為包絡的採樣，應該算是數學家的直覺嘗試，或者說是他們常用的技巧吧，因為 $komega _{0}$ 取極限 $omega_{0} ightarrow 0$ 有 $komega _{0}=omega$ , 方便後面進一步把級數轉變成積分形式。其中沒有把T集成 $X(jomega )$ 中，應該算是大家的約定吧，沒辦法，只能按照那些大牛的愛好了~ 好，那現在我們把公式(5)代入公式(1)中

$ilde{x}(t) =sum_{k=-infty }^{+infty }{frac{1}{T}X(jkomega _{0})e^{jkomega _{0} t} } =sum_{k=-infty }^{+infty }{frac{1}{2pi}X(jkomega _{0})e^{jkomega _{0} t} }omega _{0}$ (6)

(6)式中只含有 $omega _{0}$ 和 $komega _{0}$ ，此刻，數學家們開始笑了，萬事具備，東風亦來，吼吼吼。令公式(6)中的 $omega_{0} ightarrow 0$ , 也即 $T ightarrow +infty$ , 此時 $x(t) ightarrow ilde{x}(t)$ , 哇~好熟悉的感覺，瞬間少女變大嫂~~ 公式(6)為

$x(t) = lim_{T ightarrow +infty }{ ilde{x}(t) }= lim_{omega_{0} ightarrow 0}{ ilde{x}(t) } =frac{1}{2pi} int_{-infty }^{+infty } X(jomega )e^{jomega t} domega$ (7)

其中 $X(jomega )$ 如公式(4)所定義~傅里葉級數的包絡奧~在這裡重新寫下把

$X(jomega )= int_{-infty }^{+infty }x(t)e^{-jomega t }dt$ (8)

到了這裡，數學家們才舒了一口氣~~哈哈哈，攻城獅大笑，現在可以盡情灌水了~~~

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傅里葉級數和傅里葉變換的關係

很多人說傅里葉技術用於周期信號，傅里葉變換用於非周期信號。那問題來了，周期信號的傅里葉變換是什麼？並且和傅里葉級數的係數有什麼關係？

為了解開這個謎團，我們先來熱熱身~來點預備知識。首先，周期信號可以由傅里葉級數表示，即e指數的求和形式，想到這一點，攻城獅開始猥瑣的笑了起來，彷彿透視了對面的可愛妹子~~么么噠。。。周期信號的傅里葉變換的關鍵不就在於e指數的傅里葉變換嘛~~

直接給出e指數的傅里葉變換~

$e^{jkomega _{0}t} ightarrow 2pi delta (omega -komega _{0})$ (9)

可以驗證下~ 把(9)代入到 (7)式中

$x(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty }^{+infty } 2pi delta (omega - komega_{0})e^{jomega t} domega =e^{jkomega_{0}t}$ (10)

而對於周期信號可以表示為傅里葉級數

$ilde{x}(t) =sum_{k=-infty }^{+infty }{a_{k}e^{jkomega _{0} t} }$ (11)

對周期信號進行傅里葉變換，即對公式(11)的e指數進行傅里葉變換~，藉助公式(9)，可以得到

$X(jomega ) = sum_{k=-infty }^{+infty }{2pi a_{k}} delta (omega -komega _{0})$ (12)

可以看出，周期信號的傅里葉變換並不連續，並且都可以表示為一系列的脈衝疊加，其中脈衝前面的係數為 $2pi a_{k}$ , 即為傅里葉係數的 $2pi$ 倍。

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通過傅里葉級數求取傅里葉變換的例子

最經典的例子莫過於脈衝採樣理論了

對於採樣系統中，我們一般採用脈衝去對信號進行採樣，脈衝信號可以表示為

$x(t) =sum_{k=-infty }^{+infty }delta (t-kT)$ (13)

因為這是典型的周期信號，對應的傅里葉級數的係數為

$a_{k} =frac{1}{T} int_{-T/2}^{T/2}delta (t)e^{-jkomega_{0}t }dt =frac{1}{T}$ (14)

根據公式(12)其傅里葉變換為

$X(jomega ) = sum_{k=-infty }^{+infty }{2pi a_{k}} delta (omega -komega _{0})=X(jomega ) = sum_{k=-infty }^{+infty }{frac{2pi }{T} } delta (omega -komega _{0})$ (15)

藉助周期信號傅里葉係數和傅里葉變換的關係，可以很快求出周期信號的傅立葉變換。

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Update 一下有關正交展開吧。

Part 1: 正交函數基的概念

正交概念一般是定義在閉區間上的，假設這個閉區間為 $[a,b]$ , 那麼對於兩個函數 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的正交，說的是其內積為零，如下面公式所示

$<g,h> = int_a^bg(x)h(x)dx =0$ (16)

假設函數列 ${e_k(x)}, k =0,1,2,cdots$ 是一組函數基,並滿足

$<e_m, e_n> = int_{a}^{b} e_m (x)cdot e_n (x) dx =delta_{mn} = left{ egin{array}{ll} 1 m=n \ 0 m<br /> eq n \ end{array}<br /> ight.$ (17)

根據魏爾斯特拉斯逼近定理：

閉區間上的連續函數可用多項式級數一致逼近；
閉區間上周期為 $2pi$ 的連續函數可用三角函數級數一致逼近.（其實可以用更加緊湊的方式表述:三角級數和多項式級數在C[a,b]中稠密）

可以知道閉區間上 $[a,b]$ 上的連續函數 $f(x)$ 可以用正交函數列 $e_k(x)$ (多項式和三角級數) 來一致逼近

$f(x) = sum_{k=0}^{n}a_ke_k(x)$ (18)

根據最優理論,我們考慮其平方誤差積分最小

$min_{{alpha_k}}E = min_{{alpha_k}}int_a^b left(f(x)-sum_{k=0}^n alpha_k e_k(x) ight)^2dx$ (19)

根據多維函數求極極值理論，上述式子(19)對 $alpha_k$ 的導數等於零

$frac{partial E}{partial alpha_k} = frac{partial }{partial alpha_k} int_{a}^{b} left( f(x) - sum_{i=1}^n alpha_i e_i(x) ight)^2dx =0$ (20)

根據勒貝格測度的控制積分理論，對於閉區間上的連續函數 $E(x,alpha_k)$ ，如式子(20),其微分和積分符號可以交換順序，詳細參考我的實變函數Notes ，控制收斂定理84-85頁。

http://pan.baidu.com/s/1kVJSHWN

於是有

$frac{partial E}{partial alpha_k} = int_{a}^{b} frac{partial }{partial alpha_k}left( f(x) - sum_{i=1}^n alpha_i e_i(x) ight)^2dx =0$ (21)

進一步有

$int_{a}^{b} left( f(x) - sum_{i=1}^n alpha_i e_i(x) ight)cdot e_k(x)dx =0$ (22)

根據我們的正交假設(17)顯然有如下結論

$alpha_k = int_{a}^{b} f(x) e_k(x)dx ,quad k=1,2,3,cdots$ (23)

魏爾斯特拉斯定理的意義

顯然我們可以用上述正交基對任意的連續函數函數去逼近，也總歸會得到一個最優逼近下的一組係數 ${alpha_k}$ ,但是這個最優逼近是否能夠無限逼近原函數？魏爾斯特拉斯定理的意義就在保證了多項式和三角級數可以一致逼近閉區間上的連續函數，也就是說當正交級數的項達到一定的數目時，在整個閉區間上無限逼近原函數了，嚴格來講，就是閉區間上最大的逼近誤差可以控制到任意小。

簡而言之，閉區間上的連續函數可以等效為無數正交函數基（如傅立葉）的線性疊加，這樣的好處就在於不同函數之間的區別現在量化成了不同的正交係數 ${alpha_k}$ 的區別，這種正交變換的好處是，打個比方，函數 $f(x)$ 類比成李雷家的豬， $g(x)$ 類比為韓梅梅家的小麥，現在李雷想吃麵粉，韓梅梅想吃肉，於是要想要交換下。但是他們並不知道這隻豬該換幾斤麥子啊，那好，現在有一個專門的機構，能夠把不同物品使用統一種貨幣（正交基）來量化，於是下次見面直接說李雷的豬多少錢（ $f(x)$ 的傅立葉係數），韓梅梅家的麥子多少錢( $g(x)$ 的傅立葉係數 )，這樣大家就能夠快速的有一個量化的比較了。

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Part 2: 傅立葉級數和正交多項式級數

讓這個正交函數基為 $e^{jk x}$ ,抑或( $1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,cdots$ )，這就在理論上得到了傅立葉級數。

我們也可以探索把多項式作為我們的基 $1,x,x^2,x^3,cdots$ ,但是這組基並不是正交的，不過沒關係，我們可以用格拉姆-施密特方法正交化，然後就得到了正交的多項式基，也就是勒讓德多項式，如下圖。

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Part 3: 正交多項式和泰勒級數展開

既然講到了正交多項式，那麼不妨多說兩句。大家注意到公式(19),在閉區間上使用有限項的基來逼近一個函數，這是全局的逼近，我們思考和泰勒展開有什麼不同，泰勒展開只是在某個點附近逼近，當展開的級數越多，那麼函數逼近的範圍就越廣。大家也許會注意到對於正交級數在閉區間上展開的係數使用積分來求取的，而泰勒展開的係數確是通過微分操作求取。

簡而言之，正交級數（如勒讓德級數）是全局的逼近，而泰勒展開是局域的。從上圖可以看出，對於正交勒讓德級數，從 $n$ 到 $n+1$ 維，需要全部計算前面所有的係數，所以隨著 $n$ 的增加，正交級數也越來越複雜（這句話的理解是把勒讓德級數整理成泰勒級數的樣子，那麼會發現，每增加一個維度，所有多項式前面的係數都會變化，意味著這些係數重新算過了）。但是對於泰勒級數，每增加一個維度，只需要計算增加的那個維度的導數即可，前面基的係數都不用變。

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Part 4: 向量正交

我們回顧下公式(16)

$<f,g>=int_a^b f(x)g(x)dx$

如果我們把區間 $[a,b]$ 離散化, 在裡面採樣 $m$ 個點，那麼 $f(x),g(x)$ 就相應變成了 $m imes 1$ 維度的向量了，積分也就成了離散和，也就是內積了，（16）可以變為

$sum_{i=1}^{m} f(x_i)cdot g(x_i) = <hat{f},hat{g}>$ （24）

那麼正交的含義也就順理成章地成了

$sum_{i=1}^{m} f(x_i)cdot g(x_i) = <hat{f},hat{g}>=0$ (25)

所以，函數正交定義的形式和向量正交其實是內恰的，對於線性代數中的向量之間的投影同樣可以類比到函數空間中，線性代數中的格拉姆-施密特正交化方法也就可以同樣適用於函數基的正交化。把上述正交函數的概念類比到離散的代數空間，我們就從傅立葉級數順理成章推廣到了離散傅立葉變換DFT。

可以參考一個帖子

如何通俗地解釋什麼是離散傅里葉變換？ - psyduck 的回答 - 知乎

Part 4: 正交概念、級數展開在工程中的應用

我只說我接觸過的

對於通信的CDMA編碼，Spread code是一系列的正交碼，每個人分配一個這樣的spread code作為身份的驗證, 且這些碼相互之間正交，所以我們接受到基站傳回來的信息時，通過內積方式可以唯一解出屬於自己的那部分信息，而不用擔心別人的信息對自己信息的串擾。
對於通信的OFDM，本質上是把高速率的信息流拆分成若干的低速率信息流，然後通過載波聚合的方式正交地載入在同一個載波上，接收端通過積分就可以恢復這些信息，然後把多個低速率的信息流恢復為告訴串列的高速數據流。不同的通信編碼方式，其共同點就是正交。
在電路理論中，泰勒級數和傅立葉級數也用的非常多，這倆好基友是非線性電路分析的不二法寶。很多非線性電路如功率放大器，整流電路的效率，輸出功率的計算，無不利用到了這些級數。還有一些微波半導體器或者系統件行為建模方法，也是用到了這些技術。更加複雜的就是從一維變數的拓展到高維了。

周期信號傅立葉級數意思是信號可以化為很多餘弦函數的和，對應每個餘弦函數的係數就是畫出來頻譜的大小，

而非周期傅立頁可以看成周期無限大的周期函數，如果也用傅立葉級數表示的話（這裡用許多複數和而不用餘弦函數，想具體了解可以百度），那麼將會發現複數幅度基本為零啦，沒法看到各個頻率的變化，但是他們雖然很小但是有變化啊，所以我們對其係數的表達式乘個時間T，這樣就係數大小就不是零啦，的到的頻譜則是頻譜密度，可以看到頻譜的變化，所以大家也叫它頻譜圖！

電路上通過傅立葉級數分解將周期信號分解為若干個正弦餘弦信號，而傅立葉變換是是由級數分解推導而來，將範圍普適到非周期信號

傅里葉變換是對「直線加群」上函數的傅里葉變換；

傅里葉級數是對「圓周群」上函數的傅里葉變換；

在抽象的理論中我們可以把傅里葉變換定義到局緊交換群上的函數上去。

（積分由幺模群上哈爾測度給出）

你可以參考如何理解傅里葉變換公式？ - 物理學中吳童的回答或是一些抽象調和分析的教材。

找關係，如果你真的嘗試，會有很多不同的角度，去找到不同的關係。

因為我稍微了解的是信號處理，所以我打算說下在數字信號處理裡面，它們之間的關係。

建議可以讀一下奧本海姆的離散時間信號處理

如果題主說的是連續時間信號的話，那可能要失望了。
這個故事其實並不迷人。

（這個部分說到的信號，不論周期還是非周期，均指連續時間信號）

最開始，傅立葉變換定義的時候，周期信號是不滿足存在變換的條件的。

所以，為了傅立葉變換中既有周期信號，又有非周期信號。

對於周期信號的傅立葉變換的定義是單獨定義的！

而這個定義呢，是從周期信號的傅立葉級數，還有非周期信號的傅立葉逆變換一起導出來的。

簡單地說來，我們要找到一個東西來作為周期信號的傅立葉變換，滿足的一個條件是：如果把這個東西做非周期信號的傅立葉逆變換，能夠得到原來的信號。在構造這個定義的過程中，因為你想得到原來的信號，所以必定要牽扯到周期信號的傅立葉級數表示。

如果題主說的是離散時間信號
也就是DFS 和 DTFT（不是DFT哈！）的關係，這裡面就刺激多了。

（下面的討論都是說的離散時間信號。）

這要從一個非周期信號說起。

一個非周期信號（假如它只有0時刻到 N-1時刻不為零，其餘時刻均為零，沒錯，也就是這是一個只有N個點的信號），可以做DTFT，得到的結果是一個，自變數是 $omega$ ，以 $2 pi$ 為周期的函數。

如果把這個函數，取模，就是我們所謂的頻譜。

但是，請不要這樣做，記得一定要明確，傅立葉變換的結果是什麼！

是一個以 $omega$ 為自變數的函數！函數的值是複數。

變換本身不是一個數到數的映射！

但是變換的結果是，實數到複數的映射！

接下里，我們要做的叫做頻域採樣。

就是對上面這個以 $omega$ 為自變數，周期是 $2 pi$ 的函數採樣。

我們一個周期採集N個。

先看一個周期， $omega$ 取哪些值的時候，採樣呢？

$omega = frac{2 pi}{N}k , k=0...N-1$

一個周期，我們得到了N個複數。

然後採樣完所有的，我們得到的是一個以N為周期的序列。

這個序列里的都是複數。

到目前為止，都還沒有涉及到DFS。

我來小小地回顧一下。

一個非周期信號，N個點不為零，做DTFT，得到一個以 $2 pi$ 為周期函數。

函數的值是複數。這些複數的模組成頻譜（幅度譜），這些複數的相位組成我們的相位譜。

然後這個函數，我們僅僅要了它一些離散點的值。

一個周期要了N個。

於是得到了一串以N為周期的，複數序列。

然後，說DFS。

DFS實際上是一個周期序列（信號以N為周期），可以用另一個周期序列來表示（傅立葉級數表示，也是以N為周期）。

現在回到上面。

如果，我們把上面採樣得到的以N為周期的複數序列，看成是某個信號的傅立葉級數表示的話，那麼這個傅立葉級數表示所對應的周期信號會是什麼樣子呢？

答案是：

就是DTFT之前的，那個N個點的信號，做周期延展。

周期信號才有傅里葉級數，非周期信號才有傅里葉變換，傅里葉變化是由傅里葉級數將周期拓展到無窮而證明來的，傅里葉級數是對應諧波的幅度，而傅里葉變換是一個譜密度的概念。

級數是數列的求和，一些離散的量加在一起，用於周期性函數。

傅里葉變換是積分，應用於非周期性函數，相當於把周期看作無窮大。由於周期作為分母出現，本來離散的量就變連續了，故而用積分。

最近由於項目需要在回顧大學知識，來知乎學習學習別人的理解再來加深自己的理解。書到用時方恨少啊

我來寫寫我的理解吧。

學習任何一個學科，首先要對概念非常清楚，只有概念清楚了，才不會稀里糊塗。首先理解什麼是傅里葉級數。級數（series），其實就是序列。當年傅里葉老爺子在做熱的解析理論時發現，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，其中正弦函數或餘弦函數的頻率為周期頻率的整數倍。這個級數就命名為傅里葉級數。就是下面的式子（圖片來自百度百科）：

這真是一個偉大的規律發現，也就是說，上面等式的右邊部分叫做傅里葉級數。

那麼問題來了，給定一個f(t)，怎麼求a0，c1，c2……這些參數呢？

這時候歐拉老爺子的公式就派上用場了（話說歐拉公式挺難直觀想像上去理解的，誰叫他確實帶了想像的部分呢，虛數就是imaginary namber）。

最終得出來上面式子的另一個形式：

同樣，等式右邊部分叫做傅里葉級數，其中

這裡x(t)和f(t)是一樣的時域的信號表示（找不到f(t)表示的公式圖片。。。懶得自己編輯了）。
時域的信號表達式是我們直觀上很容易想像的，但等式右面怎麼會出現虛部呢？放心，ak也有虛部。ak代入後整個等式右邊計算完就是x(t)。
所以這樣做關鍵的關鍵的意義是：我們得到了信號x(t)的每個頻譜（正餘弦）分量，信號中頻率k/T分量的係數（可以想像成幅度，或者是這個頻率在信號中的份量）就是ak。這個結果就可以拿來做頻譜分析了。注意，這裡的k是整數，意味著頻譜上的點是離散的，因為周期信號的頻譜上的分量分布在原信號周期的整數倍上（可以回頭再看傅里葉的發現）。

然後緊接著問題又來了，能不能對非周期信號也做頻譜的分析？答案是可以的，就是有人已經貼了的，把周期想成無窮大。最後能得到一個信號的傅里葉變換對：

$x(t) = frac{1}{2pi } int_{-infty }^{+infty } X(jomega )e^{jomega t} domega$

其中

$X(jomega ) = int_{-infty }^{+infty } x(t)e^{-jomega t}dt$

對應於傅里葉級數的兩條式子。

兩個式子中上面一個等式表示x(t)可以表示不同頻率分量的積分（不就是角頻率w無窮小的無窮級數嗎）。下面的式子 $X(jomega )$ 表示每個頻率分量（角頻率是 $omega$

）的係數，而且這個式子才叫做x(t)的傅里葉變換。這個式子里的角頻率w就不是某一個頻點了，它可以取頻譜軸上的任意值，它是連續的！非周期的信號的頻譜遍布整個頻率軸！

對某一點特定角頻率wt取值，X(jwt)就是角頻率wt在信號x(t)中的"份量"！

工程上需要做離散的傅里葉變換（最終到快速傅里葉變化FFT），這樣用軟體處理才簡單快速。

從上述連續信號的傅里葉變換得到離散的傅里葉變換對：

$x[n] = frac{1}{2pi } int_{2pi }^{}X(e^{jomega })e^{jomega n}domega$

其中

$X(e^{jomega } ) = sum_{n=-infty }^{+infty }{x[n]e^{-jomega n} }$

第二個式子就是採用信號x[n]的離散傅里葉變換。當做N點（採用N個數據點）傅里葉變換的時候，式子是這樣的：

得到的結果每一點Xk就是頻率分量 $omega =2kpi/N$ 的係數。對應於實際的頻率就得看採樣的頻率了，應為採樣頻率不同，拿到N點數據的時間可是完全不一樣的。

上面這個式子也就是DSP或是軟體處理N點FFT的演算法。

前面說了，非周期信號x(t)的頻譜是連續的，離散傅里葉變換是x(t)的頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔採樣，也就是對連續頻譜的離散化，這就是DFT的物理意義。

對於有限長的序列，可以看成是周期序列的一個周期，那麼這個有限長序列的傅立葉變換，以2pi/N為間隔做頻域上的採樣，可以得到這個有限長序列對應的周期序列的傅立葉級數.

嗯，雖然有點繞，但就是這樣.

準確的說，周期信號可以展開成傅立葉級數，非周期信號則是傅立葉變換。任何一個周期信號都可以看成很多復指數信號的疊加，這些復指數信號有一個基頻，每一個復指數信號的頻率都是基頻的整數倍（這就是所謂的正交）。對於非周期信號，可以等效為周期為無窮大，這樣傅立葉級數的和就變成了積分的形式，基頻也趨近於0。這就是非周期信號的頻譜是連續的，而周期信號的頻譜是離散的原因。我這裡用「復指數信號」，為的是數學更加簡單，復指數信號可以看成是正弦和餘弦函數的線性組合。

（周期函數的）傅里葉級數是（其中一個周期）傅里葉變換在頻域的採樣。

證明：

函數 $x(t)$ 周期為T，則其中一個一個周期 $0<t<T$ 的傅里葉變換為 $X(j omega)$ 。

採樣函數 $H(j omega)=sum_{k=- infty }^{infty} delta(omega-komega_0), kin Z$ 的級數表示是 $H(j omega)=sum_{k=- infty }^{infty} frac{1}{omega_0}e^{j k 2pi omega/omega_0}, kin Z$

採樣 $H(j omega)X(j omega)=sum_{k=- infty }^{infty} frac{1}{omega_0} X(j omega)e^{j k 2pi omega/omega_0}$

採樣在時域上的表示是 $h(t)x(t)=sum_{k=- infty }^{infty} frac{1}{omega_0}x(t) *e^{j k 2pi omega/omega_0}$ .

*符號表示卷積。

根據卷積定義， $h(t)x(t)=sum_{k=- infty }^{infty} frac{1}{omega_0}int_{0}^{T} x( au) e^{j k 2pi (t- au)/omega_0} d au$ $=sum_{k=- infty }^{infty} e^{j k 2pi t / omega_0} int_{0}^{T} x( au) e^{-j k 2pi au/omega_0} d au$

可以看到，這正是傅里葉級數的表達形式。當 $omega_0=T$ 的時候，這個式子正好是傅里葉級數。

一個是離散求和，一個是連續求和（積分）

理解比較淺，手賤答一下

傅立葉級數的展開式是唯一的，但是傅立葉變換其實是有很多種的。不同的傅立葉變換得到的結果和形式其實也不大相同。有快速傅立葉變換和離散傅立葉變換。而上面幾位所說的從頻率負無窮到正無窮其實只是其中的一種。

計算機無法處理這種連續積分，所以還有離散傅立葉變換等等。

基礎是傅立葉級數，但是傅立葉變換的形式是多種多樣的，根據你最後想要得到的形式，來對級數進行變換。

考完再補充！

這只是數學上的兩個叫法，傅立葉級數（FS）是對連續周期信號而言，傅立葉變換（CTFT）是對連續非周期信號的處理而言。

從某種意義上說，CTFT 包含了 FS，因為連續周期信號可以看成是連續非周期信號的特例。

簡單地說：傅里葉級數是周期性的，而傅里葉變換卻是無周期性的

傅立葉變換（Fourier transform )可以看成是傅立葉序列中周期取到無窮大的情況，換句話說，我們可以認為傅立葉變換產生的曲線就是傅立葉序列的包絡。

傅立葉級數展開與連續傅立葉變換之間有什麼關係？

一個周期信號可以用傅立葉級數展開，傅立葉級數展開的本質是，在希爾伯特空間中將一個函數投影到正交的基函數分量上，展開係數代表投影的分量的幅度。

那麼連續傅立葉變換的本質也是將一個信號分解無數多個連續頻率的正弦函數的疊加嗎？

但是這無數多個連續的正弦函數並不是正交的，這個怎麼理解？