什麼是多因子定價模型？APT（套利定價理論）、Fama-French三因子模型之間的關係是怎樣的？

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一開始我有點認為APT是多因子模型的理論基礎。但是後來看了一下覺得APT的因子好像是宏觀變數，每個資產用的因變數的值是一樣的；而多因子模型似乎可以用一些個體層面上的因子。這樣理解是對的嗎？APT和多因子模型的關係怎樣描述比較準確？他們和Fama-French三因子、五因子模型的關係又是怎樣的呢？自己想的有點暈，希望好心童鞋能幫忙指點一下！謝謝！

謝邀。

這個問題很有意思。這中間的區別更多的是歷史遺留問題，並且來源於學術上的流派不同。

多因子資產定價模型只是對定價核(Pricing Kernel)的線性逼近，ICAPM，APT和Fama-French是三個最流行的分支。

先列個小提綱吧。心急的人可以跳過第1部分和第3部分。

定價核(Pricing Kernel)和邊際消費效用增長率
多因子模型是定價核的線性逼近
ICAPM
APT
Fama-French

1.定價核(Pricing Kernel)和邊際消費效用增長率

在一個經濟體里，投資者配置資產的目的是為了最終獲得財富，而財富最後用於消費，消費產生效用(utitlity)。可以證明，對於任意的資產，總是滿足下面的關係

$p_t = mathbb{E}[m_{t+1}({p_{t+1} + d_{t+1}})]$

即，在 $t$ 期的資產價格是 $t+1$ 的價格和紅利之和的折現。由於下一期的價格和紅利的數值都是不確定的，所以我們對其取期望。而這個用來折現的函數 $m_{t+1}$ 本身也是一個隨機變數，一般稱作stochastic discount factor(SDF)或者更流行地被稱作定價核(Pricing Kernel)。

學術界流行的觀點是，任何資產定價模型只是CCAPM(CCAPM 模型和 CAPM 模型的關係是什麼？ - 金融學)的一個特例而已。在CCAPM中，定價核可以被寫成一個關於邊際消費效用增長率的關係式

$m_{t+1} = eta frac{u$

其中 $eta in (0,1)$ 是一個主觀折現率，它的數值越大則下一期發生的事件在決策者的心中越重要。 $u$ 是邊際消費效用。

2.多因子模型是定價核的線性逼近

在現實中，由於投資者的效用函數的具體形式是不確定的，所以我們很難直接計算定價核。在這個情況下，我們可以假設定價核可以被下面一個線性關係式逼近。

$m_{t+1} = a + b$

這時候我們可以證明資產收益 $R_{t+1}$ 的期望滿足

$mathbb{E}[R_{t+1}] = gamma + eta$

其中 $gamma$ 是一個常數， $eta$ 和 $lambda$ 是兩個 $p$ 維度的向量。 $eta$ 就是我們常說的貝塔，它是資產收益對因子的敏感性，而 $lambda$ 是因子的數值。

3.ICAPM

最先得到多因子定價模型的應該屬於Merton(1973a)的ICAPM(ICAPM 和 CAPM 的關係是什麼？ - 金融工程學)，雖然Merton本人只是想要拓展已有的CAPM，但他最後得到的資產收益公式恰好就是一個多因子模型，如下

$(mathbb{E}(R) - R_f) = eta_m( R_m - R_f) + sum_{i=1}^n eta_i^h(alpha_i^h - R_f)$

其中 $R_m$ 同CAPM一樣是market portfolio的收益，而後面幾項帶 $h$ 的是Merton所定義的對沖項（hedge），它們被用來對沖經濟環境的變化。這些能夠用來刻畫一個經濟體的運行狀態(經濟增長衰退，信貸擴張收縮，等等)的變數被稱作狀態變數(state variable)。

自然而然地，在ICAPM中，選擇的因子主要是宏觀經濟變數，因為它們能夠刻畫目前的經濟狀態或者能夠預測未來的經濟狀況。從直觀上很容易理解，宏觀經濟會影響到資產的收益狀況，所以它們當然應該成為定價因子。

4.APT

Ross(1976)中文稱作套利定價理論，即APT。APT首先承認可能存在不止一個定價因子，像CAPM那樣的單因子模型在現實中不足以令人滿意，這篇論文的一個重要貢獻就是讓大家開始系統地考慮多因子定價模型的可能性。

Ross假設資產收益滿足下面三個等式(下面的每個等式都是關於矩陣和向量的等式， $Sigma$ 是一個對角正方矩陣)

$egin{eqnarray} R = a + b$

注意到這裡的 $R$ 沒有取期望，而 $epsilon$ 作為非系統風險用來解釋不能被因子 $f$ 所解釋的資產收益波動。剩下的兩個條件類似於OLS中的要求，首先是非系統風險是獨立於系統性風險的，其次非系統風險彼此之間不會相互影響，所以 $Sigma$ 是一個對角矩陣。從實際操作上來說，APT很像是統計學上的PCA。在這樣的情況下，非系統風險可以通過持有分散化投資的資產而消除掉。

緊接著，Ross證明了，為了保證市場上沒有套利的可能性，一個足夠分散的資產組合中的資產收益應該滿足

$mathbb{E}[R] = gamma + eta$

這就跟第二部分里的多因子模型的一般形式長得一模一樣了。

但是Ross的APT的理論價值要大於實際應用價值，因為Ross雖然證明了如果存在定價因子並且定價核是一個因子的線性函數，那麼無套利條件就可以保證得到一個APT模型，但是Ross卻不知道這些定價因子具體是什麼。既然如此，又怎麼檢測APT到底有沒有用，具體又怎麼使用APT呢？學術界的對手當然不會放過這個機會。下面兩篇論文的標題讓我直接笑出了聲:

Shanken(1982)

Dybvig, Ross(1985)

學術界對於APT的研究興趣在八十年代一直很高漲，但是兩方誰也難以說服誰，因為即使找到一個可以用來做定價的多因子組合，也很難證明這些因子就是對的，即使這些因子是對的，還需要證明定價核是這些因子的線性函數。難。

5. Fama-French

到了1993年，Fama和French採取了完全不同的方式來解釋資產的收益。他們既沒有假設什麼理性投資者和關於人生的投資組合選擇問題，也沒有假設市場中不存在套利的機會和多因子。他們的論文簡要來說就是，「別廢話了，我們直接來run regression吧」。由於丟掉了理論的包袱，自然他們的模型產生的數據擬合結果比之前的CAPM和APT或者ICAPM都要好得多。

Fama-French起源於兩個被大家發現的定價現象：

小市值的股票平均收益率更高
低市凈率(P/B)的股票收益率更高(低市凈率的一般被當作價值型股票，反之則為成長型股票)

之後Fama-French通過公司金融的數據把股票按照市值還有市凈率的高低分隔成25個投資組合(市凈率從高到低5檔，市值從高到低5檔)跑了回歸，發現..顯著。好的搞定。他們得到了下面的多因子模型

$mathbb{E}[R] = R_f + eta_m(R_m - R_f) + eta_s SMB + eta_h HML$

其中SMB = 「small minus big」,即市值小的公司組成的投資組合回報與市值大的公司組成的投資組合回報之差；而HML = 「high minus low」，是賬麵價值比較高(注意這是B/P比值，是市凈率的倒數)的公司組成的投資組合回報與比值較低的公司投資組合回報之差。

由於Fama-French缺乏嚴謹的經濟學假設，立馬就受到了很多人的攻擊。比如Fischer Black當年（1993）就寫了一篇論文批判FF的論文只不過是data-mining罷了，這個批評直到今天仍然不絕於耳。遙想1993年Black的身體狀況已經很差了，仍然要嘔心瀝血對這篇論文提出批評。

但是隨後幾年Fama和French一連發了好幾篇論文，用數據證明了三因子模型在長期，不同的國家，都適用。至此FF-3 factor model一時間變得很受歡迎了。這有很多影響。一方面，實證金融學一下子就把做金融理論的同行打趴在地上，Fama-French不僅提供了結果，更提供了一整套研究的方法，用一些反對者的人來說,data-monkey都可以發現一個新的定價因子。一時間因子模型如雨後春筍般變得到處都是，學術界現在都有超過300個因子了。另一方面，多因子模型突然變成了一項可以學習的科技，你不需要一個經濟學家，只需要一個能熟練操作統計軟體的人替你不停地找因子就好了。Fama-French的三因子已經能夠解釋90%的資產個體收益差距了，剩下的因子再錯也不至於產生太大的損失。相應地，quant equity公司也是成批次地湧現，一時間active portfolio management把passive portfolio management踩在了腳下。雖然最近幾年學術界和業界都開始相應地做出調整，但是無法否認Fama-French的三因子模型是劃時代的。

誰叫French懂得什麼叫市場營銷呢？(我絕對是在誇French) 在學術界的同行都不願意分享自己的數據和代碼的時候，你只需要點擊一次滑鼠，就可以直接下載French替你算好的結果

Kenneth R. French

你說引用量和影響力能不上去嗎？

參考文獻

Black F. Beta and return[J]. The journal of portfolio management, 1993, 20(1): 8-18.
Campbell J Y, Lo A W C, MacKinlay A C. The econometrics of financial markets[M]. Princeton, NJ: princeton University press, 1997.
Cochrane J H. Asset Pricing:(Revised Edition)[M]. Princeton university press, 2009.
Fama E F, French K R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J]. Journal of financial economics, 1993, 33(1): 3-56.
Merton R C. An intertemporal capital asset pricing model[J]. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1973: 867-887.
Ross S A. The arbitrage theory of capital asset pricing[J]. Journal of economic theory, 1976, 13(3): 341-360.

謝邀

跟據BlackRock的一篇資料:

http://faculty.washington.edu/ezivot/research/factormodellecture_handout.pdf

還有這裡：

https://www.msci.com/resources/research/articles/barra/connorfactor.pdf

我們可以認為多因子模型可分為3類:

macroeconomic models

fundamental models

statistical models

而Fama-French Approach，也就是你說的三/五因子模型是屬於fundamental models這類的多因子模型, 這麼看起來的話，多因子選股如果是基於macroeconomic因子或statistical因子的，那就與三/五因子模型裡面的因子不同，但如果是基於資產的fundamentals的話，則沒啥區別。

【一個簡單易懂版本的APT和三因子你肯定能看懂相信我真誠的眼神】

*思路基於Principles ofCoperate Finance, 10th edition；參考MBA智庫百科詞條「套利定價模型」

總結：APT是CAPM的擴展，多因子是APT的加強版，三因子是多因子的一個經典特例。

要想想清楚這個問題，我們要先知道這些APT啊，三因子幾因子的是怎麼冒出來的。

PART1 資本資產定價模型CAPM

首先，讓我們回到資本資產定價模型（CAPM）還在佔主導的時候。

CAPM的理論主要是馬科維茨的理論之下市場均衡的形成。它認為資產的預期收益率與該資產的β值之間存在正相關關係。其實CAPM模型本身從因子理論來說是一個單因子模型。從公式中就可以看出，它唯一的因子就是Rm-Rf。

PART2 套利定價模型APT

CAPM被提出後曾風靡一時。但Stephen Ross對其提出了質疑，並於1976年提出了套利定價理論（APT），試圖取代CAPM 。APT中，資本資產的收益率（也就是期望風險溢價）是GDP增長、通貨膨脹水平等各種因素綜合作用的結果，並不僅僅受Rm-Rf的影響。也就是說APT是多因素的。APT與CAPM的另一個主要區別就是他倆的假設不同：CAPM的假設還是從馬科維茨那邊來的，主要是最優投資組合和市場均衡，而APT的是從因子模型與市場無套利來的，假設數量相對較少。

此外，CAPM是從投資者如何構建有效投資組合的分析開始的，但APT卻不再分析投資組合是否有效，而是假設每隻股票的收益受兩種影響：第一種是宏觀經濟形勢的影響，或者說是一些因子（factors），而第二種是與公司相關的獨特事件的影響，也就是噪音（noise）。給每一個因素加一個權數並加入截距項a，得到APT的公式如下：

我們都知道，通過多樣化投資可以消除掉第二種影響（噪音），但無論你多麼分散投資，做出來多麼diversified的portfolio都不可以消除掉第一種影響（宏觀因子）。所以在投資者做決策時就可以不用考慮噪音的影響，僅用考慮因子的影響就可以了。因此，期望風險溢價只會受到宏觀因素的影響，也就是下面的公式：

APT的一個很大的缺陷就是它的因子沒有被確定。Ross只是認為期望風險溢價與多個因素都有關，但是他卻沒有說出具體是哪些因素。這一缺點很大程度上限制了APT在估值中的的實際應用。

PART3 多因子定價模型

多因子定價模型(Multifactor Pricing Model)是CAPM與APT之後的延伸，是指APT後有具體因子出現的定價模型。FF的三因子五因子就是多因子模型中的代表。

Fama French的三因子模型

APT理論出現後，一些學者發現一些公司自身特徵也可以一定程度上解釋股票收益率。致力於解釋這一現象的Fama和French在1993年發現，市場超額收益率、公司規模以及賬面市值比三個因素對股票收益有顯著的影響。隨後，他倆建立了根據這三個因素解釋回報率的模型，也就是提出了具體的三個因子：

1. 規模因子SMB（Small minus Big）：大市值與小市值股票收益率之差；

2. 賬面市值比因子HML（High minus Low）：高賬面市值比的與低賬面市值比的股票組合收益率之差；

3. 市場因子：Rm-Rf

所以公式就變成了下面這樣：

這就是Fama-French的三因子模型。由於三因子模型的提出基本上拋棄了理論，而是用統計學的手段來找出了三個因子，一時間大家彷彿都開始找起了因子。找出別人沒找到的有效（顯著）的因子也成為了一些學者樂此不疲的task。

Fama French的五因子模型

2013年，感到三因子模型解釋能力在下降的Fama and French又提出了五因子模型，在三因子模型基礎上加入盈利能力和投資風格因子。模型如下:

4. 盈利能力因子RML：營運利潤率高與營運利潤率低的股票組合收益率之差。

5. 投資風格因子CMA：投資風格保守與投資風格激進的股票組合收益率之差。

（插個搞笑的事情，一直有一些人在說多因子全都是蒙的完全沒用。聽說還有位教授嘗試了A-Z因子，就是直接把名字開頭為A的公司與名字開頭為Z的股票收益率之差作為一個因子，一算竟然也顯著...emmmmmm...）

好想邀請fama來給你講，他上次給我們講反正我們是沒聽懂…老頭上次給我們講了為啥他覺得三因子模型不行了，所以開發了五因子模型，但是，我完全沒聽懂！

都是沒用的東西參考一下架構就行了你看懂100%也不能實盤賺錢還是找找好用的因子比較重要

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被人舉報有「不友善」言辭，經申訴知乎認為沒有。

莫名其妙被舉報了啊