如何證明「分數的分子和分母同時乘以一個不為零的數，分數的值不變」？

01-01

請問這個在小學就要學的知識，如何能夠公理化地嚴格證明？

承認不為零的數有乘法逆元存在，那麼

$frac{mk}{nk}=(mk)(nk)^{-1}=(mk)(k^{-1}n^{-1})=m(kk^{-1})n^{-1}=mn^{-1}=frac{m}{n}$

$frac{a}{b} =frac{a}{b} imes 1=frac{a}{b} imes frac{c}{c} =frac{a imes c}{b imes c}$ $(b e 0,c e 0)$

請問 @白如冰大牛，這樣的證明是否嚴格？如果是有問題的，問題出在哪兒？

the road to reality 里還專門說了這個問題。。。

這取決於你如何定義分數（有理數）。假如我們從以下三點出發：

先定義inverse：若存在c使得a * c = 1，易證c是唯一的。把c稱作a的inverse，並寫作1/a。

再定義分數：等式兩邊都 * 1/a，那麼fraction可寫作b * 1/a，這同時也表明了fraction是唯一的，定義是有意義的。在我們的書寫習慣中，這進一步地被寫成b / a。注意這裡的*和1/a都只是符號，不要把它們看作乘法和除法。

最後根據定義證明等式：等式兩邊都 * k，根據結合律fraction * (a * k) = b * k，如果(a * k)也存在inverse，那麼fraction也可以寫成(b * k) / (a * k)，故而(b * k) / (a * k) = b / a。

題主有興趣的話去學習一下抽象代數。

幼稚園小朋友怒答一記：

分數的定義為：a/b(b≠0）即a除以b,

上下都乘以非0數為：ac/bc(b≠0,c≠0)，即（a乘以c）除以（b乘以c）,

脫括弧：a乘以c除以b除以c，

乘法結合律：a除以b乘以c除以c,

加括弧：a除以b乘以（c除以c)，即a除以b乘以1，等於a除以b。

不知道證明過程有沒有錯誤，請各位老師檢驗下。

我還在苗苗班，請各位大神勿噴！

考慮通過設想「分數的分子和分母同時乘以一個不為零的數，分數的值不變」是錯的，然後證明設想與事實不符，從而反向證明「分數的分子和分母同時乘以一個不為零的數，分數的值不變」，是對的。

用域公理可以證明啊