微積分的實質？

01-01

"微積分的實質是對無窮小量進行數學分析" 這句話說的對不對？

這句話是從微積分的發展過程來看的。因為微積分的數學證明過程建立在柯西發明的極限概念的基礎上。但是回過頭來審視微積分的話，我認為其實微積分是一門研究連續函數的理論。

奧妙隱藏在拉格朗日中值定理中。此定理說的是一段連續曲線的割線的斜率等於所割曲線中某一點的斜率。如果把這段曲線看作是直線運動的位移～時間函數的話，就是說這段路程的平均速度等於路程中某一點的瞬時速度。之所以有這個結論，根本原因是時間是連續的，速度只能連續地變化，必在某一時刻經過其均值點。

用這個結論就可以證明微積分基本定理。用速度～時間函數來說明。定積分是定義為與分割和小區間函數取值無關的黎曼和的極限。連續函數可積。把積分區間分成若干段，即把位移分成若干小段位移。每一區間的曲邊面積（每一小段位移）就等於此區間某一時刻點（即此段位移平均速度的時刻點）的函數值（速度）乘以區間長度（時間段）。因為黎曼和與取值無關，那麼取這些平均速度點為函數值得出的黎曼和就恆等於每一小段的位移的累加，即等於末位移值減初位移值。

以上可以看出拉格朗日中值定理的核心地位，而此定理成立的根本條件是連續，而連續函數的基本性質以實數的完備性為基礎。

極限-連續性思想是微積分的根本。

我覺得微積分的實質就是複雜問題簡單化。不管是不定積分，定積分，二重積分，三重積分的最基本原理就是分割近似取極限。說明在複雜的圖形曲線都可以用無數個正方形表示出來。如果把我們見都沒見過的函數用一個個長方形表示出來以後再疊加，那就會很簡單。

包括泰勒公式這種讓無數人頭疼的東西，都是在用無數個我們已知並且簡單的函數，像一元函數，二元函數進行疊加來確定面前這個不為人知的函數。

而無窮小量對於微積分的內容其實是近似這一步上，因為長方形畢竟是有寬的東西，所以我們要讓長方形的寬足夠小，寬越接近無窮小函數就越精確，所以其實每一個長方形的寬如果都能準確的無窮小，那微積分就是在對於這些寬無窮小的長方形進行疊加。所以才會有了物理意義，有面積，有體積。

微積分是物理工具也是數學工具，是一種能夠把2乘1變成1加1的實質性的東西。

微積分的實質是對非線性函數進行線性化，直觀點講，就是以直代曲。微分是曲線（局部）線性化，積分是將線性化後的東西還原。題主是否贊同？

微分的實質就是逼近。比如我有大約100元，你有大約200元，那麼你我共有大約300元，這是我們日常生活的常見例子。在微分中，兩個（一般的，複雜的）函數 f(x), g(x) 由兩個（簡單的）線性函數 a+bx, c+dx 逼近，那麼 f(x)+g(x) 由 (a+bx) + (c+dx) = (a+c) + (b+d)x 逼近，這個就是公式(f+g)" = f"+g"的來源。微分中所有的方法和理論都可以由這樣的來自於常識的思路得到。

積分的實質是面積，面積的實質是（1）大的區域有大的面積；（2）兩個不交的區域合在一起的面積是分別兩個面積的和；（3）長方形的面積是底乘高。這三條是大媽都知道的事情。由此三條就可以推出牛頓-萊布尼茨公式，所有教科書中用黎曼和引進積分都是捨近求遠的笨方法。我說的實際上是測度論的思路，是牛頓創造微積分的原始思路，又好理解，又先進。

市面上的微積分教材基本上是由不做研究的數學老師寫的，對微積分的理解實在有限。

這句話是具備道理的。微積分其實是兩個概念。微分和積分分別都涉及到無限小，兩者互為逆過程。微分說白了就是把一大堆東西分成很小的，無窮小的一份一份，這樣在連續的函數上，每一份都差不多少。積分就是把一份一份加起來，密不透風。舉個栗子，一條曲線，微分就是把曲線上的每一小段割裂開來；把任意一小段放大來看，再放大（成一個點），你可以看到它的斜率，每段皆然。這是微分。積分，還是同一條曲線，把這條曲線下的面積分成一段一段，每段都差不多一個長方形，把長方形的寬無限逼小加起來，就是整個面積，這是積分。如果曲線代表一個物體運動的速度，那麼對橫軸時間微分，就是每一段時間內速度變化的快慢，這便是加速度；對橫軸時間積分，每一小段vi*Δt，合起來就是路程，此過程即積分。當然啦，對路程的微分自然就回到速度；題外話要說兩句的話，不妨提一下加速度微個分是個叫作「jerk（混蛋）」的東西～

上數學時老師講過高等數學的的思想大概是：先把對象分成充分小的結構，對這個結構保留主要部分，忽略次要部分（微分的過程）然後在把處理過的各部分累加起來（積分的過程）。

$int_a^bf(x)dx = limsum_{j=1}^nf(v_j)Delta x_j$

積分就是求和。

局部線性化。

以我半吊子的微積分水平，我覺得積分的意思就是微分的和，但微分被定義為比函數值和微分的差更低階的無窮小量，意思就是說用微分值代替函數值的話，其相對誤差為零，即微元趨向零時微元的和和函數值的相對誤差趨向零，所以可以用微元的和的極限來替代所求的值，而微元的和的極限就是積分。所以你所說的無窮小分析可能就是對於一個量，我要去設計或者找出一個合適的微分函數，證明這個微分函數和那個量之間的誤差確實是比這個微分函數更高階的無窮小量，那麼這個微分函數就是正確的微分函數，我就可以對這個微分函數求積分，得到的結果就是要求的那個量。但是似乎通常又認為導函數就是一個正確的微分函數，所以找出那個量的導函數，把導函數積分，就得到那個被求的量了。

以上的積分只是叫做黎曼積分的東西。有沒有什麼其他的積分我就不知道了。

把大問題分割成獨立小問題然後把獨立小問題的答案綜合起來就是大問題的解，如何遇到一個大問題不能分割成小問題去解決或者分割成小問題而小問題之間有關聯的問題，微積分也沒什麼用了，即使人類自詡萬物之靈也只是能理解一階邏輯，對於二階邏輯以上的就無能為力了！如果有人類進化出二階邏輯，那人類估計可以星際航行了

我覺得可以從微分（differentiation）、積分（integral）這2個英文詞的本身含義入手。這比較適合數學小白入門。

我覺得那樣表述很正確，說白了就三個字：無窮小。

樓上所有回答微積分是對無窮小的分析的，你們知道無窮小本來就有悖論嗎？在非標準分析中無窮小才被嚴格的定義，一般教科書中微積分是由極限來表述的。也就是無窮小被捨棄了（非標準分析中仍舊採用））

我覺得對啊

首先無窮小量是一種相對性的描述，而並非一個絕對數。

在此基礎上把原有的絕對數建立的數學模型用相對數重新帶入一遍，

就相當於換了一種角度看同一個問題。

函數本身是一種數學分析，導數也是一種數學的分析，

二者針對的是同一個問題，但形式不同。

我的老師告訴我微積分就是求最值