數學上知名的曲線有哪些，是通過什麼方式得到的？希望大家給出數學上各類曲線及函數表達式。

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數學類型，盡量詳細說明，謝謝。

最速降線。

來源於一個問題：在重力場中從較高的一點到水平位置不同的較低一點沿什麼曲線用時最短。

以前人們認為是圓弧或者是拋物線這樣比較簡單的曲線，後來都被證明是錯誤的。約翰·伯努利把這個問題刊登到萊布尼茲主編的《教師雜誌》上，並寄了一份給遠在不列顛島上的牛頓。牛頓此時已經遠離數學界多年；伯努利兄弟希望用這樣一道難題難倒這位自稱獨創了微積分的英國人，為萊布尼茲出氣。

在截至日期前，約翰一共收到五份答案，都指出這樣的一條曲線是旋輪線。這五份答案分別來自於萊布尼茲、他自己、他哥哥雅各布·伯努利、洛必達侯爵以及一位匿名人士。「這份蓋著英國郵戳的答案雖然沒有署名，但顯然來自於一位天才之手。」約翰後來說，「很明顯它來自於艾薩克·牛頓爵士，我從他的利爪看出了這頭獅子。」

據牛頓的外甥女凱瑟琳·康迪特回憶說，當時作為皇家造幣廠廠長的牛頓正忙於英國改鑄新幣的事情。當天牛頓回到家時已經是深夜，看到了桌子上放著的一封來自歐洲大陸的信。他在油燈下做出了這道題後才上床睡覺，此時是凌晨四點鐘。

「我不喜歡在數學上...被歐洲人戲弄。」牛頓說。

太多了.

先發幾個國外的網址:

two dimensional curves

Curves -- from Wolfram MathWorld

List of curves

National Curve Bank: A Math Archive

Index of Classic Plane Curves and Surfaces

MATHCURVE.COM

再發兩個網址是我個人的:

Math Curve 2D

Math Curve 3D

最後貼幅我生成的圖像,是洛倫茨吸引子的非線性蝴蝶曲線:

擺線(內擺，外擺，星形線，腎臟線)，螺線(對數螺線，雙曲螺線，阿基米德螺線)…

鐘形曲線，也就是正態分布概率密度的曲線。

表達式： $f(x)=frac{1}{sqrt{2 pi}sigma }e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma ^2}}$

圖像：

還是醉心於圓錐截線，這真是一個大坑，可把俺坑苦了。

一個圓錐，形狀類似於一坨屎。切一刀，角度不同，方程也不同，並且具有非常完美的對稱形式。除此之外，還具有令人難以置信的光學特性。於是一個弱智騷年入坑不能自拔。

PS：此騷年入坑時代正值某大神安眠於水晶棺材，所以請原諒俺用一坨屎這種粗鄙的語言描述，因為俺讀書少，請不要騙俺。

斐波那契數列（Fibonacci Sequence），又稱為黃金分割數列。在數學上，斐波那契數列是以遞歸的方法來定義：

F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn - 1 + Fn - 2

用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就由之前的兩數相加。首幾個斐波那契數是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………

via 維基百科

相信大家對這個數列很熟悉，如果把這個數列的每一個數字看作是一個正方形的邊長，那麼就會畫出如下矩形：

看上去，嗯沒什麼，然而，當我們把矩形的端點用曲線連接起來後：

我擦，似曾相識啊，這不是阿基米德螺線，這是妃不納妾螺旋線，而它，廣泛的存在於我們的身體，生活，師姐，世界和宇宙中：

身體中的：

生活中的：

師姐中的：

世界中的：

宇宙中的：

參考：

一日一美女：告訴你什麼是斐波那契螺旋線

斐波那契螺旋線

維爾斯特拉斯函數，處處連續、處處不可導。

魏爾斯特拉斯的原作中給出的構造是：
,
其中，為正的奇數，使得：
這個函數以及它處處連續而又處處不可導的證明首次出現在魏爾斯特拉斯於1872年7月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中。

證明這個函數處處連續並不困難。由於無窮級數的每一個函數項的絕對值都小於常數，而正項級數是收斂的。由比較審斂法可以知道原級數一致收斂。因此，由於每一個函數項都是上的連續函數，級數和也是上的連續函數。
下面證明函數處處不可導：對一個給定的點，證明的思路是找出趨於的兩組不同的數列和，使得
這與函數可導的定義矛盾，於是證明完畢。
一般人會直覺上認為連續的函數必然是近乎可導的。即使不可導，所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分。根據魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數學家，包括高斯，都曾經假定連續函數不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想像一個連續但在不可數個點上不可導的函數是很困難的事。當我們繪製函數的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函數圖像。
魏爾斯特拉斯函數可以被視為第一個分形函數，儘管這個名詞當時還不存在。將魏爾斯特拉斯函數在任一點放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。

心形線