古人是如何測量山的高度？

在現代科學沒出現之前，古人是如何測量山的高的？比如古代人們就知道泰山的高度高於蒙山，事實上這兩座山的高度僅差300多米。古時候他們就知道「登東山（即蒙山）而小魯登泰山而小天下」

中國很久以前就有測高的工具。

一種叫「矩」，就是「規矩」的「矩」：

左準繩,右規矩,載四時,以開九州,通九道,陂九澤,度九山。
——《史記·夏本紀》

周公曰：大哉言數。 請問用矩之道。
商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，卧矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。
—— 《周髀算經》

「規」是校正圓形的工具，「矩」就是畫方形的工具。

「偃矩以望高」，是指把矩的一邊仰著放平，可以測量高度。

還有一種叫「表」，也就是圭表。

最早的圭表就是「立竿見影」裡面的那個「竿」。周朝的時候人們發明了專門測量日影的土圭，「土」是量度，「圭」是尖頭的玉器，傳說周公曾在陽城樹立表圭來測量冬至日與夏至日的日影，來確定一年的天數和季節。古代人們還用圭表來測定方向和丈量土地。

說到測高就不能不提到劉徽 （約公元225年—295年），他的《海島算經》是一部關於測高望遠之術的專著。

度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入。
——劉徽《九章算術注·序》

就是說，使用多次測量傳遞的方法，就可以測量出各點之間的距離和高度差。

《海島算經》共有九問，其中就有關於測高的問題：

今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？ 答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表裡數。

古希臘的學者泰勒斯（約公元前624年－約公元前546年） 在很久以前也用過類似的方法，測量出某座金字塔的高度為134米：

（以上兩圖均引自維基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/三角測量）

十字儀（cross staff）廣泛應用於歐洲中世紀晚期，是當時最重要的測量工具，就像這樣：

但最早的十字儀有可能是中國發明的。

「陳王寵有強弩數千張,出軍都亭 。」 ——《後漢書》

"陳敬王寵善弩射，其秘法以天覆地載，參連為奇；又有三微、三小，三微為經，三小為緯，萬勝之方。然要在機牙，其射至十發十中，皆仝孔。"
—— 華嶠《後漢書》

千年以後，沈括終於理解了劉寵神射的奧秘：「天覆地載」指的是雙手握弩的姿勢，一手在前一手在後；「參連為奇」指箭鏃在刻度上的相對位置，這個位置取決於目標的遠近，這樣就能合適地確認目標的仰角。「三經三緯」是設在一個框架上的三條橫線和三條豎線，射手利用十字網格就可以上下左右地瞄準目標了。

這一原理與用相似三角形測量山高的原理相同。由「數千張」可知，在東漢末年，劉寵已經了解了十字網格的測量功能。

「予頃年在海州，人家穿地得一弩機，其望山甚長，望山之側為小矩，如尺之有分寸。其原意，以目注鏃端，以望山之度擬之，准其高下，正用算家勾股之法也。」
——沈括《夢溪筆談》

奧斯曼向東擴張的一個副產物是促進了西歐測量學的高速發展。拜占庭學者與手稿的流入引進了新的地圖觀念，恰好人們被迫轉向西方的貿易路線，於是出現了新的測量手段以滿足人們的需求。

Martin Waldseemüller（1470-1520）設計了這樣一個測量方位、高度和水準的多測計:

這個儀器也是經緯儀的原型。

參考書目：

宋鴻德等《中國古代測繪史話》

任繼愈《中國古代的地圖測繪》

查爾斯·辛格《技術史》第3卷

大概這樣？