如何使一個R^3中徑向函數的Laplacian儘可能地小?

01-01

現在問題歸結為: 設 $fin C^2[0,1]$ 滿足 $f(0)=1, f(1)=0$ ，且前兩階導數在0和1處為0. 證明存在 $xi in[0,1]$ 使 $|2f$
該問題來源於: 在 $mathbb{R}^3$ 中, 作球 $A$ , 再作同心大球 $B$ , 試構造徑向函數 $g$ 使 $g$ 在 $A$ 內取1, $B$ 外取0, 且 $|Delta g|$ 在 $Bsetminus A$ 中的最大值盡量小.
構造 $g$ 是為了解決: 設 $Omega$ 是 $mathbb{R}^3$ 中邊界光滑的有界開區域, 設 $varphi$ 在 $partialOmega$ 上取1, 在 $Omega$ 外調和且在無窮遠處為0(即孤立導體電勢). 設 $m{x}_0inpartialOmega$ , 且有含於 $Omega$ 半徑為 $ho$ 的內球(切於 $m{x}_0$ ), 則 $| ablavarphi(m{x}_0)|lefrac{C}{ ho}$ ， $C$ 是一區域無關的常數. 方法是構造函數來估計, 構造得越好, $C$ 就能減小. 其實題主是想知道導體表面尖鈍和電荷密度的關係
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補充前面問題的聯繫.

為方便設內球球心為原點. 作 $B_1=B_{ ho_1}(m{0})supsetoverline{Omega}, B_2=B_{ ho_2}(m{0}), ho_2><br /> ho_1$ . 作 $g:overline{B_2}setminusOmega ightarrowmathbb{R}$ 如下:
$g(m{x})=egin{cases} 1, m{x}in B_1setminusOmega\ f_{ ho_2- ho_1}(|x|- ho_1), m{x}in B_2setminus B_1\ 0, m{x}in overline{B_2}setminus B_1 end{cases}$
$f_a(t)$ 是單變數函數, 其形式待定. 設 $|Delta g|le A_{ ho_2- ho_1}$ , 再令 $z:overline{B_2}setminusOmega ightarrowmathbb{R}$ 如下:
$z(m{x})=g(m{x})-frac{A_{ ho_2- ho_1}}{6}left[( ho_2^2- ho_0^2)frac{ ho_0^{-1}-|m{x}|^{-1}}{ ho_0^{-1}- ho_2^{-1}}-|m{x}|^2+ ho_0^2 ight]$
滿足 $Delta zge0,zle g$ ,設 $m{x}_0$ 處 $partialOmega$ 的外法向量為 $m{n}$ , 則
$-| ablavarphi(m{x}_0)|=frac{partialvarphi(m{x}_0)}{partialm{n}}gefrac{partial z(m{x}_0)}{partialm{n}}$
故
$| ablavarphi(m{x}_0)|lefrac{A_{ ho_2- ho_1}}{6}left(frac{ ho_2^2}{ ho}+ ho_2-2 ho ight)$
取 $f_a(t)=frac{6}{a^5}(a-t)^5-frac{15}{a^4}(a-t)^4+frac{10}{a^3}(a-t)^3$

則 $A_{ ho_2- ho_1} =frac{400+280sqrt{7}}{81( ho_2- ho_1)^2}$
代入有
$| ablavarphi(m{x}_0)|lefrac{200+140sqrt{7}}{243( ho_2- ho_1)^2}left(frac{ ho_2^2}{ ho}+ ho_2-2 ho ight)$
令 $ho_2 ightarrow+infty$ 得 $| ablavarphi(m{x}_0)|lefrac{200+140sqrt{7}}{243 ho_0}<frac{2.35}{ ho}$
可見常數依賴於 $f_a(t)$ 的構造, 後用24次多項式降到了1.42, 但該方法似無法降到4/3以下. 但已有答主用其他方法得到了常數1!

@岸島柔奈子現在已經給出了對原始問題的正確的證明。我在這裡只是把他的證明轉寫成「物理」一點的語言，並稍微推廣一下。

命題表述為

考慮任意一導體，電勢為1，無窮遠處電勢為0，導體內可容下一半徑為 $ho$ 的球體，並於導體表面相切於 $mathbf x_0$ 點。那麼 $mathbf x_0$ 處的電場強度小於 $1/ ho$

記該導體在空間中產生的電勢分布為 $w(mathbf r)$ 。記該球球心位置為 $mathbf y_0$ ，考慮這樣一個導體球在電勢為1時在空間中產生的電勢分布為 $v(mathbf r)= ho/|mathbf r - mathbf y_0|$ 。考慮將原導體上的電荷分布固定，球形導體上電荷分布固定並反號，則由疊加原理，它們共同在導體外空間中產生的電勢分布為 $w(mathbf r)-v(mathbf r)$ 。注意到這個函數在原導體表面處處大於等於零，以及在無窮遠處趨於零，我們將證明這個函數在導體外全空間也處處大於等於零。

若存在一點小於零，則存在其他地方流入該點的電場線，並必要流向電勢更低點，但無窮遠處電勢為零，故在有限遠處必存在一個電勢最低點，與自由空間中電勢無極值矛盾。故該電勢在導體外的全空間大於等於零。

那麼考慮 $mathbf x_0$ 處，此處電勢為零，則電場線必指嚮導體內。

故由原導體電荷分布產生的電場小於等於由新加球形導體電荷分布產生的電場，即 $1/ ho$

證畢。

這個命題可以簡單推廣成

考慮任意一導體，電勢為1，無窮遠處電勢為0，導體可被一半徑為 $ho$ 的球體容下，並於導體表面相切於 $mathbf x_0$ 點。那麼 $mathbf x_0$ 處的電場強度大於 $1/ ho$

證明完全是類似的，這裡只要證明函數 $w(mathbf r)-v(mathbf r)$ 在球體外處處小於等於零即可。

可以看到，原命題是對導體表面電場強度和表面曲率之間很強的一個估計，而第二個命題的意義就不是那麼大了，僅對全凸的導體才有比較好的效果。

First version: 或許是輔助函數取得不夠好, 目前我只能證明到梯度模長不超過 $ho^{-2}.$

Second version: 在原來所作的輔助函數前乘上係數 $ho,$ 就可以得到最終想要的估計.

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設 $Omegasubsetmathbf R^3$ 為有界光滑區域, 它在 $x_0inpartialOmega$ 處滿足內球條件, 即存在 $y_0inOmega$ 以及 $ho>0$ 使得 $B_ ho(y_0)subsetOmega,~overline{B_ ho(y_0)}cappartialOmega={x_0}.$ 設 $mathbf R^3setminusOmega$ 上的調和函數 $u$ 滿足 $u|_{partialOmega}=1,~lim_{x oinfty}u(x)=0.$ 則有 $| abla u(x_0)|leq ho^{-1}.$

證明. 由橢圓正則性理論, $abla u(x_0)$ 有意義. 讓 $v(x)=1-u(x),~forall xinmathbf R^3setminusOmega.$ 極值原理表明 $v$ 是 $Omega$ 上的正函數, 並且 $v|_{partialOmega}=0.$ 我們的目標是證明 $| abla v(x_0)|leq ho^{-1}.$