柯西定理在區域邊界上是否成立？

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我又來問復變了……
(下列所說區域都是開集，我的課本這樣定義的。若涉及邊界會特別說明閉區域)
現簡單列舉一下我正在學習教材的證明過程，教材給出了古爾薩的證明方法：

1.證明了：在單連通解析區域內三角形的閉合曲線上積分為零。
2.應用1證明任何凸區域內存在原函數，原函數就是畫一個三角，從一個頂點到另一個頂點的積分。不是凸區域無法畫三角。
3.實變數復值函數顯然可以應用牛頓萊布尼茲公式，只要形式地加上虛數單位即可。所以有原函數就有牛萊公式。
4.任何單連通區域內的閉合曲線，可以在曲線上畫小圓盤來覆蓋它，圓盤是凸區域，可以應用引理2，3。從而證得柯西定理。至此，所有證明都是在區域內完成的，若閉合曲線被畫在閉區域的邊界上，則不能保證上述小圓盤是凸區域，不能應用引理2。書上最終正式敘述中確實是區域內適用。

然而就在一頁篇幅之後，為了證明在多連通區域內成立，用連接孔洞的方法，突然就認為沿閉區域邊界上的積分也是零，用詞是萬惡的「顯然」。這一點也不顯然吧！

不藉助一點點拓撲學, Cauchy定理是說不清楚的. 什麼叫"孔洞", 什麼叫"連接孔洞"? 更本質的問題是, 什麼叫"單連通", 什麼叫"多連通"?

單連通有兩個等價的定義. 拓撲學中的定義是基本群為平凡, 而傳統的複變函數幾何理論中的定義則是補集為連通. 這兩個定義的等價性是Runge逼近定理的推論. 有限連通區域的拓撲分類(其實是微分同胚分類)由它的連通數(基本群的生成元個數)完全決定, 這個結論的證明似乎非用Riemann映照定理不可.

研究包含邊界的情形的時候, 除卻假定所論的函數可以連續延拓到區域的閉包上之外, 還必須要假定邊界有一些光滑性, 因為很容易構造下述的非常病態的單連通開集: 它的邊界甚至具有正的二維Lebesgue測度. 為了構造這樣的開集, 只要考慮一下所謂類Cantor集合就可以了: 給開區間 $(0,1)$ 里的所有有理數編號, 記編號後的這些有理數為 $r_1,r_2,...$ , 而後造開區間 $I_k$ 使得 $r_kin I_ksubset(0,1)$ , 且 $|I_k|<4^{-k}$ , 並令緊集 $K=[0,1]setminuscup_kI_k$ . 顯然它具有正的一維Lebesgue測度. 平面開集

$U=(0,1) imes(0,1)setminus(K imes[0,1/2])$

是單連通的(因為首先它是道路連通的, 而後它的補集也是道路連通的), 而它的邊界包含了正測度緊集 $K imes[0,1/2]$ .

本質上, 到邊界的Cauchy定理就是Stokes公式, 但要想嚴格地說清楚它, 我認為非藉助複變函數幾何理論中的一些高級理論不可. 當然, 所謂"高級", 也僅僅是本科生復變講不到而已.

假設 $Omega$ 是個有限連通的有界區域, 邊界是若干段可求長的Jordan閉曲線. 反覆應用Riemann映照定理, 可以造出一個它與某解析Jordan區域(邊界全都是解析的Jordan閉曲線) $Lambda$ 的共形等價 $phi:Lambda ightarrowOmega$ . 而Riesz-Privalov定理說, $phi$ 不僅可以連續延拓到邊界, 導數 $phi$ 實際上也可以延拓到邊界上(非切向極限), 而 $phi$ 便成為邊界上的絕對連續函數. 若 $fin H(Omega)$ 且連續延拓到邊界上, 那麼 $fcircphiin H(Lambda)$ 且連續延拓到邊界上. 對後者可以用Stokes公式(當然也需要一些簡單的逼近), 而因為 $phi$ 在邊界上絕對連續, 在邊界上的積分通過 $phi$ 拉回到 $Omega$ 上, 就可以說明

$int_{partialOmega}f=0.$

當然, 我個人十分希望看到不需要"高級"理論的嚴格證明......

全純函數的柯西定理就是Stokes公式 $int_{partial Omega}omega=int_{Omega}domega$ 的直接推論。如果它可以連續延拓到定義區域邊界那在區域邊界上積分就是0，不管區域是不是單連通的。

邊界的成立需要依賴閉區域內解析函數一致連續性。考慮把邊界方程寫成形式上的z=r(θ)e^iθ，那麼在區域內部作一條「相似的」曲線z1=ez，e是一個參數，介於0到1之間。剩下的題主自己再試試？

這個問題有個很自然的想法，就是找一條區域內部的曲線，與邊界曲線充分接近，使f在兩曲線上的積分相等。至少當邊界曲線是piece-wise smooth(我們這裡用Stein的術語)時，這是可以做到的，c.f Stein複分析附錄B的定理2.9。

使用Stokes定理也是一個好想法，同樣可以處理邊界曲線piece-wise smooth的情形，但是要注意使用條件是f可以光滑延拓(或者至少是C^1的)到某個包含區域閉包的開集上，這等價於說f的各階偏導數都能連續延拓到邊界(c.f John M. Lee的光滑流形導論)。