如何自學幾何課程？

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鄙人年少，學過卓里奇數分，線性代數，實，復，泛分析，近世代數，基礎微分幾何，基礎拓撲。但是看的越多，就越感到自己的無知。為此，我想學更多後續課程來豐富自己，微分流形，黎曼幾何，黎曼曲面，李群李代數，多復變，辛幾何，復幾何，表示論，代數拓撲，微分拓撲，代數幾何都是我的對象。
代數和拓撲的課程我已買好相關書籍，正在磨刀霍霍準備秒殺中。但是那些幾何啊，我很不了解，不知道應該按怎樣的順序，還有選什麼樣的書籍。目前我只學過至多3維的微分幾何，高維的那些超曲面啊，曲率啊，Frenet等等公式啊，在哪裡能夠看到？(微分流形嗎)。如何自學那些幾何課程，求大神指點一二，小學弟在此謝過。
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買了 Loring W Tu的流形導論，有點厚，不知道適不適合自學。(&>﹏&<)
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題主是真誠來向各位請教的，我的確讀完了那些我所說的課程，並且現在熱切盼望能儘早通向幾何的大道，身邊指點的人太少，所以向大家請教經驗。

初二要看EGA的肯定是紫色的，高一看量子場論的是紅色的，你現在又跑出來了，除了你們三個應該還有四個，讓他們一起出來吧。不然一次次的傷害太大。

建議看看KobayashiNomizu的二卷本，這是微分幾何的經典著作，新一點的可以看Peterson。中文書可以看梅加強《流形與幾何初步》和蘇競存《流形的拓撲學》，前者寫的很好，後者算是字典。

謝邀。如果不是「初中畢業」，那也就本科數學水平，如果真要拿這個來裝逼，是不是太沒意思了。。

認真地說，如果真學過古典微分幾何和拓撲，那可以開始看do Carmo的黎曼幾何了。

你們的爺爺不是我抓走的。。。

謝邀。

被你們這些神童邀請真的是誠惶誠恐。。。

如果你對幾何有興趣的話可以試試和南京大學的梅加強教授聯繫。

另外出兩個簡單的問題考驗一下題主：

1.（局部微分幾何）計算切向量繞緯圓平行移動一周轉動的角度。

2.（基礎拓撲學）證明Hausdorff空間任意兩個不相交的緊緻子集有不相交的鄰域。

一個兩個我還信，同一時間跑出仨，像你們這麼叼的是不是還有四個？

哪天碰見一個紫色頭髮的日本富二代說你們有保護大地的使命，你們可千萬別信。

怎麼一到暑假，學習成績差的小朋友就都來請教了？

都好好學習，以後不要問這種幼稚的問題！

現在的提問者，一言不合就報菜名。

題主和我差不多的情況，我可能稍微弱一點，現在小學五年級，學了點微積分，數理方程，線性代數，近世代數，數論，微分幾何，實、複分析，應用數學翻了翻感覺沒意思，還有就是拓撲和李群學的很少。丘賽和普南特的題刷了幾遍吧，感覺還行。

手上有幾本Bourbaki，看了一點點，但後面的不知從哪裡看，需要看很多群論的東西嗎？我的想法是想去做Compressive Sensing的東西，但不知道從哪裡下手，現在很迷茫，明年就要畢業考試了，時間很緊。

另外，同桌（女）的父親建議我去學物理，但是感覺Newton的《原理》寫的有點啰嗦，Maxwell比較厲害，von Neumann的量子數學基礎看了下，寫的真棒，Sakurai沒看散射開始往後的內容，Dirac就是粗看的。目前看完了Peskin的Part I，看了一點重整化，但是沒怎麼看懂，現在比較迷茫，不知道如何進一步自學量子場論及後續課程。

我的問題是，我這樣的學渣，應該是去學純數呢？還是去學量子物理？數學是我的第一愛好，但是量子物理作為最精確的理論之一，我應該需要掌握。

真心求教，希望多交流。

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我的確幾乎讀完了那些我所說的書，是真誠來向各位請教的，不要調皮哦，否則我也要出題「秒殺」你們。

我不是說著玩的

這些神童為什麼看不上偏微分方程呢？因為裡面計算多，概念少，一證明就算很長嗎？不好裝逼。本來想出一道泛函分析的題目。後來想一想算了，不是太簡單，就是太難了，一寫就很長。幾何我不懂，只要能用就好。

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下次出行一個pde的神童我再出題吧。

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講道理，有這基礎為什麼自學？去中科大少年班啊！認真準備高考，進一個數學好的學校，本科搞定jdg，topology，研究生搞定四大雜誌。30前拿到fields才是硬道理。拿到了再回來打臉不是更好！

知乎三神童我看到兩個了，這個和布爾巴基

還有一個是誰OAO

謝神童邀請

小的不知道

小的也就是規規矩矩讀數學系的小朋友不約不約

閣下這種情況還是找數學教授研究下

國內的北大中科大都有很厲害的人

還有麻煩神童們一起出來，一天出來一個嚇得小的連飯都不敢吃了

有如此神童爾等凡人還敢浪費時間吃完。。。

原答案被刪除了，還把我禁言了一天。我還能說什麼呢

既然這樣，我建議你做如下幾個簡單的習題再繼續學習：

1 六維球面的復結構是存在的。

2 四維球面的光滑結構只有一個

3 高階指標是保定向同倫不變數

4 126維的任何一個流形是不是可以和同維數球面一起構成某個127維流形的邊界？

5 一個復代數流形的Hodge類是子流形的上同調的線性組合。

我這種學渣一個問題都不會，還請題主拯救我。

還有幾個神童？一次都出來吧，別一天一個，我老了，心臟受不了。

把三兄弟的問題全關注了。

期待後續及見證歷史。

私以為Tu的流形導論非常適合沒什麼幾何基礎的學生自學，花一年時間弄清楚了之後看gtm絕對如魚得水。

謝邀請。

考慮到你的條件，有兩本書可能會適合你：彭羅斯的通向實在之路和蘇競存的流形的拓撲學。這兩本書都是百科全書式的著作，起點較低且包含了你提到的大部分學科的內容。而且適合自學。

這是我在另一個問題下的回答。

作者：匿名用戶

鏈接：初中生如何安排數學學習?已讀Bourbaki？ - 匿名用戶的回答

來源：知乎

著作權歸作者所有，轉載請聯繫作者獲得授權。

題主同學你好，說實話，我對你是否真正學完那幾本書依然表示懷疑，因為光憑一倆道題目，是不能完全測試出你對整本書的掌握程度，如果你只是走馬觀花式的學習，那麼希望題主還是要引以為戒。如果不是，那麼以題主現在的水平，在同輩中確實算得上是佼佼者，但如果要以此說題主是能夠比肩Faltings的天才的話，我覺得還為時尚早，按照你的描述，你似乎是在絕大多數先修課程都還未掌握的情況下，就開始了Bourbaki的交換代數和李代數的學習，雖然我不知道你是如何做到跳過先修課程就學完這倆套書的，但是還是建議你如果想以後從事數學研究，基礎是必須紮實，至少本科的數學系課程是要掌握牢固，你總不能連代數拓撲的基礎都不過關就一頭鑽進EGA裡面去了吧。想成為一名合格的數學從業者，紮實的基礎是必須的，沒有那些先修課程，要麼你根本沒有學的進去，要麼你高估了自己對這門學科的掌握程度，這和你是初二還是研二是沒有關係的，好的數學和年齡無關，別人只會在乎你到底輸出了多少東西，而不僅僅是輸入了多少東西。試想一下，如果Peter Scholze沒有做出perfectoid space那麼優秀的工作，那麼他所謂三個學期修完本科課程也就意義不大了。

其次在上述條件都滿足的情況下，題主同學應該多考慮前面的答主的建議，不要妄自菲薄，也不要狂妄自大，而應該耐心的為自己尋找出路，別人眼裡所謂的天賦對於現在的你來說除了增加你的自信之外沒有任何意義，你的paper，你的taste，你的horizon在你以後都是很重要的，這些都是需要時間的，如何把你的天賦轉化為你在職業道路上的利刃，這是你接下來需要考慮的東西。希望你能繼續保持對數學的熱愛，保持一顆平常心去對待，好的數學研究需要靜下心來，戒驕戒躁，這樣才能做出足夠好的工作。

最後我想說的是，即便題主能夠在初二學完這些絕大多數本科生都沒有學過的東西，我也不肯定你以後一定是能夠成為一名優秀的數學家。題主需知，在全世界每年都有大量的早慧學生，也許極少達到了你這樣的水平，但是很顯然他們中的大多數最後也都泯然眾人了。我想說的是高效的學習能力只是成為一個優秀數學家的必要條件而不是充分條件。題主如果足夠了解Grothendieck，應該知道Grothendieck他並不是那種「博學」的數學家，他的很多知識都來源於Serre廣博的知識，Grothendieck是那種不是通過學習，而是通過自己重新推導和構建來研究數學的獨樹一幟的數學家。這是一種非常強力而有效的研究style。因此題主在學習數學的同時，要注意培養自己對數學的理解，一定要多思考而不是單純的吸收，你對數學思考的深度是在你對知識充分掌握的基礎之上決定你能不能做出好的工作的一個重要因素。Grothendieck在早年的學習之中曾經不滿足於教科書，思考過面積的定義，最後自己獨立導出了測度論，如果題主能夠有這樣的覺悟，我相信你以後會成為一名很優秀的數學家。

最後，對於大多數深受題主打擊的知友，我覺得大可不必，一方面大器晚成的數學家比比皆是，另一方面做數學應該是一個超越自我的過程，而不是去和別人比較，那樣於數學本身也是不好的。

共勉。

附加一句，我本人也是從中學開始學習現代數學的，這麼多年過去了覺得這根本算不上什麼天賦，真正的天賦只有在做研究的時候才能體現的出來，希望題主再接再厲。

題主問的非常好！

我覺得我在某種程度上和題主是一類人，題主喜歡數學，而我喜歡文學。

如果大家不信，這裡我舉幾個國家、幾個民族的例子。古希臘產生了對人類文明影響深遠的神話、寓言、雕塑、建築藝術，埃斯庫羅斯、索福克勒斯、歐里庇得斯、阿里斯托芬的悲劇和喜劇是希臘藝術的經典之作。俄羅斯有普希金、果戈理、萊蒙托夫、屠格涅夫、陀思妥耶夫斯基、涅克拉索夫、車爾尼雪夫斯基、托爾斯泰、契訶夫、高爾基、肖洛霍夫、柴可夫斯基、里姆斯基－科薩科夫、拉赫瑪尼諾夫、列賓等大師。法國有拉伯雷、拉封丹、莫里哀、司湯達、巴爾扎克、雨果、大仲馬、小仲馬、莫泊桑、羅曼·羅蘭、薩特、加繆、米勒、馬奈、德加、塞尚、莫奈、羅丹、柏遼茲、比才、德彪西等大師……」

建議樓主和高一量子場論大神，初二廣相大神組合出道。就姿勢水平來看，你們應該比那個郭xx不知道高到哪裡去了呢！