場的「源」在纖維叢理論中對應的是什麼？

01-01

如題，

1. 「源」一般指代某守恆荷和守恆流，倘若相應的整體對稱性可以被規範化，那這些荷就成為新生的規範場的源了。守恆流和守恆荷可以在一般具有整體對稱性的物理體系中定義，所以最起碼可以從相應的辛幾何描述找到「纖維叢對應」，畢竟辛幾何也可以納入纖維叢（包括相空間的餘切叢）的範疇，儘管比較簡單。

NLab 中有用 Jet bundle 來討論場論中的守恆荷，不過看上去相當複雜。

2. 至於具體到規範理論中，用纖維叢來描繪規範理論的一個基本點是規範場 $=$ 聯絡，從而場強 $=$ 曲率；曲率滿足 Bianchi 恆等式。在有磁源的情況下，Bianhci 恆等式被破壞，因此在磁源處纖維叢圖像被破壞；電源處 Bianchi 恆等式完好無損。倘若考慮4維時空的電磁對偶，則電源破壞對偶規範場的纖維叢描述（高維時空中，對偶規範場是高階微分形式，或許電源破壞對偶規範理論的 Higher vector bundle 描述？）。

（磁源例子：在常見的狄拉克磁單極例子中，磁荷所在之處應該被挖去，而後才討論 $mathbb{R}^3 - {0}$ 或者與之同倫的 $S^2$ 上的 $U(1)$ 主叢。）

點電荷在時空中划過的痕迹常稱為 Wilson line/loop；Wilson loop 相應可以定義規範協變的和樂算符 $Hol(A)$ ，其跡 $operatorname{tr}Hol(A)$ 也稱為 Wilson loop。和樂在纖維叢理論也有一點意思。磁荷在時空中划過的痕迹則常稱為 "t Hooft line/loop。

3. 磁單極、點電荷這些物品常稱缺陷。對於更一般的帶缺陷的量子系統（有源系統），通常人們有兩種看法：

a）如上所述，挖掉缺陷所在區域，然後考慮剩餘區域上的場（即僅考慮剩餘空間上的纖維叢）：這個場（纖維叢曲率）在源附近有既定的（由源導致的）奇異性（如同點電荷、磁單極附近磁場的平方反比奇異性）。量子效應要求對「所有具有這種奇異漸進條件的場」進行求和，即暇費曼積分。

b）另一種觀點是補上源的動力學，即認為源所在空間自帶一個規範理論（可以理解為缺陷子空間自帶一個纖維叢）。母空間的規範理論與缺陷規範理論耦合（母空間、缺陷子空間的主叢或者物質伴隨矢量叢發生耦合？這個不清楚怎麼描述），在把缺陷規範理論的自由度積分掉之後，最後留下母空間場的一個奇異漸進條件，回到 a）。

總的來說，用纖維叢理論去強套物理理論並沒有太大好處：比如採用 a）的觀點的話，就是要考慮母空間和子空間上定義的不同的主叢、物質伴隨矢量叢之間的耦合，又比如NLab中關於Noether定理的 Jet bundle 複雜描述，違背了「簡潔優美」這一使用纖維叢圖像的初衷。當然在研究一些特別漂亮的系統或者解的時候，纖維叢語言會有實際用途。

時空是底流形，規範場是主叢上的聯絡，物質場是主叢的伴（向量）叢的截面。

最小作用量原理不但讓規範場決定物質的運動，也同時讓物質決定規範場。

根據最小作用量原理，算出的場方程，其中物質場項就是源。

純搬運工~

楊在「20世紀數學與物理的分與合」的演講中提到過，當時好像是沒有…

他是這麼說的：「左邊有一項「源」，右邊沒有對應，因為賽蒙斯說纖維叢理論中沒有這個觀念。後來美國麻省理工學院的數學家伊薩多·辛格（Isadore Singer）來紐約州立大學石溪分校訪問，我和他談了此事。他隨後去英國牛津大學，帶了吳大峻和我的文章，與邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）和奈傑爾·希欽（Nigel Hitchin）寫了一篇關於無「源」的文章。因為他們在數學界的名望，規範場與纖維叢的密切關係很快即傳遍數學界，從而引起了以後這些年物理與數學重新合作的高潮。」

文章和視頻搜演講的名字就可以找到……