a0,a1,a2,...a(n－1)是整數，求證，行列式det（ak的t次方）（0＝＜k,t＜=n-1）能被∏s!(s從1到n-1)整除?

01-01

設 $a_0,a_1,cdots,a_{n-1}$ 是整數，設
$A=egin{pmatrix} 11 cdots1\ a_0 a_1cdots a_{n-1}\ vdotsvdotsddotsvdots\ a_0^{n-1}a_1^{n-1}cdotsa_{n-1}^{n-1} end{pmatrix}$
證明 $prod_{i=1}^{n-1}i!$ 整除 $det(A)$

不知道怎麼打出矩陣。湊合看吧。

這是個范德蒙行列式。設其值為V

首先證明 $det(D_{n})=V$

$D_{n}=(varphi _{j}(a_{i}))_{0leq i,jleq n-1}$

是一個方陣，其中

$varphi_{i}(x)=x^{i}+c_{1i}x^{i-1}+...+c_{ni}$

這是因為 $D_{n}$ 能分解為范德蒙行列式和一個下三角矩陣的乘積，這個下三角陣對角元素都是1

接下來考察矩陣

$E_{n} = (C_{a_{j}}^{i} )_{0leq i,jleq n-1}$

利用上面證得結果知

$det(E_{n})=frac{1}{prod_{i=1}^{n-1}i! }V$

於是原命題得證

因為有同學說看不懂樓上的回答，所以我補充一步。

還有，樓上的同學，其實你那個En的行列式可以弄成 $Dn=(varphi _{i}^{a_{j} } )$ 這個形式的。

寫成這樣我覺得你就該理解了