a0,a1,a2,...a(n-1)是整數,求證,行列式det(ak的t次方)(0=<k,t<=n-1)能被∏s!(s從1到n-1)整除?

a_0,a_1,cdots,a_{n-1}是整數,設

A=egin{pmatrix}
11 cdots1\
a_0 a_1cdots a_{n-1}\
vdotsvdotsddotsvdots\
a_0^{n-1}a_1^{n-1}cdotsa_{n-1}^{n-1}
end{pmatrix}

證明prod_{i=1}^{n-1}i!整除det(A)


不知道怎麼打出矩陣。湊合看吧。

這是個范德蒙行列式。設其值為V

首先證明 det(D_{n})=V

D_{n}=(varphi _{j}(a_{i}))_{0leq i,jleq n-1}

是一個方陣,其中

varphi_{i}(x)=x^{i}+c_{1i}x^{i-1}+...+c_{ni}

這是因為D_{n}能分解為范德蒙行列式和一個下三角矩陣的乘積,這個下三角陣對角元素都是1

接下來考察矩陣

E_{n} = (C_{a_{j}}^{i} )_{0leq i,jleq n-1}

利用上面證得結果知

det(E_{n})=frac{1}{prod_{i=1}^{n-1}i! }V

於是原命題得證


因為有同學說看不懂樓上的回答,所以我補充一步。

還有,樓上的同學,其實你那個En的行列式可以弄成Dn=(varphi _{i}^{a_{j} } )這個形式的。

寫成這樣我覺得你就該理解了


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