Berry相與纖維叢的問題？

01-01

「Berry相可以解釋為以參數空間為底流形的某纖維叢上的一個和樂」這句話具體要怎麼理解?
請問Berry相有關的纖維叢具體來說是怎樣的纖維叢?
還有這裡的纖維叢上的和樂具體來說又是什麼呢？

謝謝!

1) 可調參數空間構成底流形，緩慢絕熱變化的參數路徑形成流形上的閉合路徑

2) 哈密頓量的希爾伯特空間構成標準纖維，粘貼到參數空間的每一點上，形成一個矢量叢

3) 選初始參數點，以及該處一個態矢量，沿著閉合路徑緩慢走一圈，應該回到出發點，並且態矢量的相位不知不覺發生了更改

4) 這個相位更改量可以寫成一個不取跡的 Wilson loop（不取跡的話，是個規範協變的矩陣）的表達式，指數上是一個環路積分，積分函數可以看成是底空間上的矩陣值 1-形式。數學家稱（不取跡的） Wilson loop 為和樂。

5) 有空還可以用這個 1-形式計算其曲率形式

上面整個過程，縮寫為一句話「相位更改量 (Berry 相位) 可以寫成某纖維叢上的和樂」。

樓主題目的名詞我都知道但是具體問題沒有學過…根據自己理解用非常簡化的模型強答一個拋磚引玉一下…

只考慮基態的絕熱過程。假設哈密頓量的基態不簡併。

我們把參數空間作為底流形，每一點上面掛上該參數下哈密頓量的歸一化基態。這樣構成一個U（1）主叢。

叢流形上元素沿底流形上的曲線平移，由絕熱過程（去掉動力學相位因子）確定。由此定義聯絡。

然後和樂群就是平移一圈回來後和原來相差的所有可能的結構群的元素構成的群。Berry相就是絕熱一圈回來相差的相位因子。幾乎完全就是一回事。這個主叢的和樂群就是所有可能的Berry相構成的群。

占坑是個壞習慣TAT下次再也不佔了

由聯絡確定平行移動可以誘導出流形上曲線終起點處切空間的同構（一般是平移標架）如果終起點相同，就是一個閉合曲線，同構就是這點處的一個自同構，取不同的閉合曲線，得到很多自同構，他們可以構成一個群，叫這點的和樂群，可以看出和樂群是這點的O(m)的子群（m是流形維數），進一步，可以證明流形上任意兩點的和樂群是同構的（和拓撲空間的基本群有點像）於是就稱為這個流形的和樂群。總的來說，只要能定義平行移動就能定義和樂群，所以在黎曼流形上或者一般的主叢上都可以定義和樂群。