如何在數學上證明調和函數的均值定理？

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今天想了一天這個問題，在電動力學引入拉普拉斯方程和唯一性定理的時候發現的，一維與二維都已證畢，但是三維的仍不得其解，剛搜到了這個問題，不知為何被刪除了，手機無法把具體數學形式描述清楚，不好意思，如有清楚的請不吝賜教，謝謝。

這兩天在看SDE時看到了一個有趣的證明，剛好刷出了這個問題，和大家分享一下。

若u滿足調和關係，設 $ar u(x,y,z,r)$ 為以(x,y,z)為圓心，r為半徑的球面上u的平均值：

$ar u(x,y,z,r)=frac{1}{4pi r^2}iint_{S_{(x,y,z)}^r} u(xi,eta,zeta)mathrm{d}S=frac{1}{4pi}iint_{S_{(x,y,z)}^r} u(xi,eta,zeta)mathrm{d}Omega\=frac{1}{4pi}iint_{S_{(x,y,z)}^r} u(x+rmathrm{sin} heta mathrm{cos}phi,y+rmathrm{sin} heta mathrm{sin}phi,z+rmathrm{cos} heta)mathrm{d}Omega$

對r求偏導，得：

$frac{partial ar u(x,y,z,r)}{partial r}=frac{1}{4pi}iint_{S_{(x,y,z)}^r} (u_{xi}mathrm{sin} heta mathrm{cos}phi+u_{eta}mathrm{sin} heta mathrm{sin}phi+u_{zeta}mathrm{cos} heta)mathrm{d}Omega\=frac{1}{4pi r^2}iint_{S_{(x,y,z)}^r} abla u cdot mathrm{d} vec S=frac{1}{4pi r^2}iiint_{V_{(x,y,z)}^{r$

而顯然：

$lim limits_{r o 0}ar u(x,y,z,r)=u(x,y,z)$

故：

$ar u(x,y,z,r)=u(x,y,z)$

對於三維以上的空間可同理證明。

任何一本數學物理方程應該都會講的吧，題主不妨先搜一下書看看。

具體證明我只記得大概了，是用Green 第二公式算的，如果題主確實找不到書的話容我回學校拍一下。但是。。應該總能找到的吧。。