該如何作一條已知曲線的等距曲線？

01-01

我目前的作法是這樣：

有一條曲線。

在該曲線的端點及控制點上作等長的垂線。

通過垂線上的點得到新的曲線。但是…我想要的並不是這樣的曲線啊，而是這樣的 ↓

要如何才能得到這樣的曲線呢？新曲線的控制點與原有曲線的控制點之間的偏移量該如何計算呢？

搜到了一個簡便的演算法：

Via：Control points of offset bezier curve

所需要的曲線稱作平行曲線（ Parallel Curve ）。

從原曲線法線方向偏移所需的距離，就可以得到這些平行曲線。

對於參數曲線 $mathbf{r}(t)$ ，其切線速度就是其第一導數

$mathbf{v}(t)=mathbf{r}$

歸一化後得單位切線矢量

$mathbf{T}(t)=frac{mathbf{v}(t)}{|mathbf{v}(t)|}$

在二維中，垂直於切綫的單位法矢量只需旋轉切線90度，設 $mathbf{T}(t)=(T_x(t), T_y(t))$ ，則

$mathbf{N}(t)=(-T_y(t), T_x(t))$

那麼，設偏移距離為 $a$ ， $mathbf{r}(t)$ 的兩條平行曲線為

$mathbf{s}(t) = mathbf{r}(t) pm a mathbf{N}(t)$

我們可以簡單地求出貝塞爾曲線（Bézier curve）的導數。然而，偏移後已不是貝塞爾曲線。如果在應用上只需要以直線渲染，就可直接對 $mathbf{s}(t)$ 求值。如果結果需為貝塞爾曲線，簡單的方法是分段擬合。

Update:

原來是要以演算法方式實現。

那麼下面的答案也就當是給有需要的人參考吧。

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想到一個 dirty hack. 用的是 Adobe Illustrator，以向兩側作距離為 1cm 的等距曲線為例。

這個方法作出來的曲線錨點數和原曲線會有不同，應該還是算擬合的方式吧。不過差別應該較小。

如果不是嚴格的繪製，可以這樣：

比如我有一條曲線：

在一端繪製一個圓：

再使用路徑陣列：

建立陣列之後，沿著圓描邊（這裡會有一點不精確），就得到新的曲線：

希望能有所幫助。

當然是用 rhino 啊！

佔個坑先，詳情再補

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Rhino下面，offest（偏移曲線）

cad里這就是個命令它根本就不是個問題

用Rhino，導入進去用曲線菜單/偏移曲線，輸入距離就好了，我覺得Rhino畫曲線比AI方便強大的多，支持格式也全

3階bezier的offset曲線不是bezier。

用小線段分段擬合求出offset點再連起來。

你的下一款字體是黑體？

把曲線的端點和控制點向同一個方向平移應該就可以了。題主作的紅色的垂線之間並不全部平行，所以題中的各個曲線的端點和控制點在移動時並不平行，得到的新曲線自然不與原曲線平行，也不互相平行。

那些紅色的短線（指那些垂線）應該互相之間都平行，這樣才能得到平行的曲線。

題主所用的曲線應該是三階Bezier曲線，只要4個點（兩個端點，兩個控制點）就能被確定。

不知道題主是要在軟體里畫平行線，還是自己寫程序？